2012-2013学年山东省济宁市鱼台一中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．i
B．-i
C．
D．

2. 难度：中等

要证明+＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（ ）
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．归纳法

3. 难度：中等

当0＜m＜1时，z=（m+1）+（m-1）i对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

如果a₁，a₂，…，a₈为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（ ）
A．a₁a₈＞a₄a₅
B．a₁a₈＜a₄a₅
C．a₁+a₈＞a₄+a₅
D．a₁a₈=a₄a₅

5. 难度：中等

若函数f（x）=x²+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x），g（x）满足f′（x）=g′（x），则f（x）与g（x）满足（ ）
A．f（x）=g（x）
B．f（x）=g（x）=0
C．f（x）-g（x）为常数函数
D．f（x）+g（x）为常数函数

7. 难度：中等

曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（ ）
A．
B．
C．
D．0

8. 难度：中等

若函数f（x）=x³-12x在区间（k-1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．-3＜k＜-1或1＜k＜3
B．k≤-3或-1≤k≤1或k≥3
C．-2＜k＜2
D．不存在这样的实数k

9. 难度：中等

在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1-y）．若不等式（x-a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（ ）
A．-1＜a＜1
B．0＜a＜2
C．
D．

10. 难度：中等

已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

11. 难度：中等

已知f₁（x）=sinx+cosx，f_n+1（x）是f_n（x）的导函数，即f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N⁺，则f₂₀₁₃（x）=（ ）
A．sinx+cos
B．sinx-cos
C．-sinx+cos
D．-sinx-cos

12. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表．f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．

x	-1		2	4	5
f（x）	1	2		2	1

下列关于函数f（x）的命题：
①函数f（x）在[0，1]上是减函数；
②如果当x∈[-1，t]时，f（x）最大值是2，那么t的最大值为4；
③函数y=f（x）-a有4个零点，则1≤a＜2；
④已知（a，b）是的一个单调递减区间，则b-a的最大值为2．
其中真命题的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

二、填空题

13. 难度：中等

已知二项式（x²+）ⁿ的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是    ．

14. 难度：中等

由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为    ．

15. 难度：中等

已知，，若均为正实数），类比以上等式，可推测a，t的值，则a-t=    ．

16. 难度：中等

如图，圆O：x²+y²=π²内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

实数m分别取什么数值时？复数z=（m²+5m+6）+（m²-2m-15）i
（1）与复数2-12i相等．
（2）与复数12+16i互为共轭．
（3）对应的点在x轴上方．

18. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ca_n+（2n+1）cⁿ⁺¹（n∈N^*），其中实数c≠0．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并证明你的猜想．

19. 难度：中等

已知f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x-2．  
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的单调递增区间．

20. 难度：中等

如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=a．
（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．

21. 难度：中等

已知椭圆E：的一个交点为，而且过点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A₁，A₂，P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，直线PA₁，PA₂分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax²+3x+1
（1）设a=2，求f（x）的单调增区间；
（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．