2009-2010学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=（2+i）（1+i）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则命题¬p为（ ）
A．∀x∈R，sinx＞1
B．∀x∉R，sinx≤1
C．∃x∈R，sinx≤1
D．∃x∈R，sinx＞1

3. 难度：中等

在“计算机产生[0，1]之间的均匀随机数”实验中，记事件A表示“产生小于0.3的数”，记事件B表示“产生大于0.7的数”，则一次试验中，事件A∪B发生的概率为（ ）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7

4. 难度：中等

设集合，则下列图形能表示A与B关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知平行四边形OABC中（O为原点），，则=（ ）
A．0
B．2
C．4
D．5

6. 难度：中等

圆心为（1，1）且与直线相切的圆的方程是（ ）
A．x²+y²-2x-2y=0
B．x²+y²-2x-2y-2=0
C．x²+y²-2x-2y+2=0
D．x²+y²-2x-2y+6=0

7. 难度：中等

已知a＞b＞0，则椭圆与双曲线的关系是（ ）
A．焦点相同
B．离心率相等
C．离心率互为倒数
D．有且只有两个公共点

8. 难度：中等

若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的主视图、俯视图及其相应尺寸如图所示，则该三棱柱的左视图的面积为（ ）

A．9
B．6
C．
D．

9. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）
A．若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥β，则α∥β

10. 难度：中等

已知f（x）=a^x，g（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1），若f（4）g（-4）＜0，则y=f（x），y=g（x）在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

12. 难度：中等

给出下列类比推理命题（其中R为实数集，C为复数集）：
①“若a，b∈R，则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a-b=0⇒a=b”
②“若a，b∈R，则a-b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a-b＞0⇒a＞b”
③“若a，b∈R，则a•b=0⇒a=0或b=0”类比推出“若a，b∈C，a•b=0⇒a=0或b=0”；
④“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”类比推出“若a，b，c，d∈C，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”
其中类比结论正确的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

13. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则边c=    ．

14. 难度：中等

阅读下面的程序框图，该程序运行后输出的结果为    ．

15. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最大值是    ．

16. 难度：中等

有下列三角形数阵：记三角形数阵构成的数列为{a_n}，且a₁=，a₂=，a₃=，a₄=，a₅=，…，据此推测a₂₀₁₀等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量=（sinθ，cosθ），=（2，1），满足∥，其中
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求的值．

18. 难度：中等

甲、乙两人对一批圆形零件毛坯进行成品加工．根据需求，成品的直径标准为100mm．现从他们两人的产品中各随机抽取5件，测得直径（单位：mm）如下：
甲：105   102  97  96  100        
乙：100  101  102  97  100
（I）分别求甲、乙的样本平均数与方差，并由此估计谁加工的零件较好？
（Ⅱ）若从乙样本的5件产品中再次随机抽取2件，试求这2件产品中至少有一件产品直径为100mm的概率．

19. 难度：中等

如图（1），三棱锥P′-A′BC′中，P′A′⊥平面A′BC′，△A′BC′是正三角形，E是P′C′的中点：如图（2），三棱锥P-ACD中，PA⊥平面ACD，∠ACD=90°，∠DAC=30°，若△P′A′C′≌△PAC，现将两个三棱锥拼接成四棱锥P-ABCD，使得面P′A′C′与面PAC完全重合，在四棱锥P-ABCD中，解答以下问题：

（I）求证：CD⊥AE；
（Ⅱ）当PA=AC=时，求棱锥E-ABCD的体积．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若∃n∈N^*，使T_n＜C成立，求实数C的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆C：的短轴长与焦距相等，且过定点，倾斜角为的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求直线l在y轴上截距的取值范围；
（Ⅲ）求△ABP面积的最大值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-ax+4+2lnx
（I）当a=5时，求f（x）的单调递减函数；
（Ⅱ）设直线l是曲线y=f（x）的切线，若l的斜率存在最小值-2，求a的值，并求取得最小斜率时切线l的方程；
（Ⅲ）若f（x）分别在x₁、x₂（x₁≠x₂）处取得极值，求证：f（x₁）+f（x₂）＜2．