2011-2012学年四川省成都七中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

现有以下两项调查：①某校高二年级共有15个班，现从中选择2个班，检查其清洁卫生状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1：5：9．为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查．完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）
A．简单随机抽样法，分层抽样法
B．系统抽样法，简单随机抽样法
C．分层抽样法，系统抽样法
D．系统抽样法，分层抽样法

2. 难度：中等

不等式|2x+1|＞3的解集为（ ）
A．（-1，2）
B．（-∞，-1）∪（2，+∞）
C．（-∞，-2）∪（1，+∞）
D．（-2，1）

3. 难度：中等

命题“∃x∈R，f（x）＜0”的否定是（ ）
A．∃x∉R，f（x）≥0
B．∀x∉R，f（x）≥0
C．∀x∈R，f（x）≥0
D．∀x∈R，f（x）＜0

4. 难度：中等

已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题正确的是（ ）
A．如果a＞b，那么＞
B．如果ac＜bc，那么a＜b
C．如果a＞b，那么＞
D．如果ac²＜bc²，那么a＜b

5. 难度：中等

在投掷两枚硬币的随机试验中，记“一枚正面朝上，一枚反面朝上”为事件A，“两枚正面朝上”为事件B，则事件A，B（ ）
A．既是互斥事件又是对立事件
B．是对立事件而非互斥事件
C．既非互斥事件也非对立事件
D．是互斥事件而非对立事件

6. 难度：中等

若函数f（x）=x³+3ax在R上单增，则α的取值范围为（ ）
A．[0，+∞）
B．（0，+∞）
C．（-∞，0]
D．（-∞，0）

7. 难度：中等

根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．据有关报道，2009年8月15日至8 月28日，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人，如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）

A．25
B．50
C．75
D．100

8. 难度：中等

不等式|a-b|≤|a-1|+|b-1|取等号的条件是（ ）
A．（a-1）（a-1）＜0
B．（a-1）（b-1）≤0
C．（a-1）（b-1）＞0
D．（a-1）（b-1）≥0

9. 难度：中等

下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1
B．a＞b-1
C．a²＞b²
D．a³＞b³

10. 难度：中等

若a，b，c∈R₊，且a+b+c=6，则lga+lgb+lgc的取值范围是（ ）
A．（-∞，lg6]
B．（-∞，3lg2]
C．[lg6，+∞）
D．[3lg2，+∞）

11. 难度：中等

直线l与函数y=x^a（a＜0）的图象切于点（1，1），则直线l与坐标轴所围成三角形的面积S的取值范围为（ ）
A．（0，4]
B．（0，2]
C．[4，+∞）
D．[2，+∞）

12. 难度：中等

如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

在茎叶图中，样本的中位数为    ，众数为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（θ）=，则 f′（0）=    ．

15. 难度：中等

已知a，b，c∈R₊，若++≥，则k的最大值为    ．

16. 难度：中等

函数①f（x）=2x-1，②f（x）=，③f（x）=x²+x-1，④f（x）=e^x，⑤f（x）=x³中，满足条件“∃x∈R，f′（x）=”的有    ．（写出所有正确的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

在区间[0，6]内任取两个数（可以相等），分别记为x和y，
（1）若x、y为正整数，求这两数中至少有一个偶数的概率；
（2）若x、y∈R，求x、y满足x²+y²≤16的概率．

18. 难度：中等

设f（x）=|x+2|+|x-2|，
（1）证明：f（x）≥4；
（2）解不等式f（x）≥x²-2x+4．

19. 难度：中等

如图，已知球的半径为定值R，球内接圆锥的高为h（h＞R），体积为V，
（1）写出以h表示V的函数关系式V（h）；
（2）当h为何值时，V（h）有最大值，并求出该最大值．

20. 难度：中等

已知x=1为奇函数f（x）=ax³+bx²+（a²-6）x的极大值点，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若P（m，n）在曲线y=f（x）上，证明：过点P作该曲线的切线至多存在两条．

21. 难度：中等

设f（x）=[x²-（t+3）x+2t+3]•e^x，t∈R
（1）若f（x）在R上无极值，求t值；
（2）求f（x）在[1，2]上的最小值g（t）表达式；
（3）若对任意的t∈[1，+∞），任意的x∈[1，2]，均有m≤f（x）成立，求m的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+2x）-2x+ax²，
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）存在两个极值点，且都小于1，求a的取值范围；
（3）若对f（x）定义域内的任意x，不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．