2011-2012学年北京市西城区（北区）高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数等于（ ）
A．1+3i
B．1-3i
C．
D．

2. 难度：中等

甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立．那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是（ ）
A．0.06
B．0.24
C．0.56
D．0.94

3. 难度：中等

函数f（x）=的图象在x=4处的切线方程是（ ）
A．x-2y=0
B．x-y-2=0
C．x-4y+4=0
D．x+4y-4=0

4. 难度：中等

用0，1，2，3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（ ）
A．8个
B．10个
C．18个
D．24个

5. 难度：中等

如图，阴影区域是由函数y=sinx的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）

A．1
B．2
C．
D．π

6. 难度：中等

已知函数上单调递增，那么实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，4）
B．（-∞，4]
C．（-∞，8）
D．（-∞，8]

7. 难度：中等

乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以4比2获胜的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x）=ax（a为常数），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知对于任意k∈（0，1），g（x）=ax是函数f（x）=的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（ ）
A．e^-1∉M，e∉M
B．e^-1∉M，e∈M
C．e^-1∈M，e∉M
D．e^-1∈M，e∈M

二、填空题

9. 难度：中等

在（1+2x）⁵的展开式中，x²的系数等于    ．（用数字作答）

10. 难度：中等

已知某随机变量X的分布列如下（a∈R）：

X	1	2	3
P			a

则随机变量X的数学期望E（X）=    ，方差D（X）=    ．

11. 难度：中等

设函数f（x）=xlnx，x∈[e^-2，e]，则f（x）的最大值为    ，最小值为    ．

12. 难度：中等

若4名学生和3名教师站在一排照相，则其中恰好有2名教师相邻的站法有    种．（用数字作答）

13. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a在区间[-2，2]上存在零点，那么实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

如图，设P是抛物线y=x²上一点，且在第一象限．过点P作抛物线的切线，交x轴于Q₁点，过Q₁点作x轴的垂线，交抛物线于P₁点，此时就称P确定了P₁．依此类推，可由P₁确定P₂，…．记P_n（x_n，y_n），n=0，1，2，…．给出下列三个结论：
①x_n＞0；
②数列{x_n}为单调递减数列；
③对于∀n∈N，∃x＞1，使得y+y₁+y₂+…+y_n＜2．
其中所有正确结论的序号为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

16. 难度：中等

甲同学在军训中，练习射击项目，他射击命中目标的概率是，假设每次射击是否命中相互之间没有影响．
（Ⅰ）在3次射击中，求甲至少有1次命中目标的概率；
（Ⅱ）在射击中，若甲命中目标，则停止射击，否则继续射击，直至命中目标，但射击次数最多不超过3次，求甲射击次数的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

设a＞0，函数的导函数为f'（x）．
（Ⅰ）求f'（0），f'（1）的值，并比较它们的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

18. 难度：中等

袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，现从袋中任意取出3个小球，假设每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字分别为1，2，3的概率；
（Ⅱ）求取出的3个小球上的数字恰有2个相同的概率；
（Ⅲ）用X表示取出的3个小球上的最大数字，求P（X≥4）的值．

19. 难度：中等

请先阅读：
设可导函数 f（x） 满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x） 的两边对x求导，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化简得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式（x∈R，整数n≥2），证明：；
（Ⅱ）当整数n≥3时，求的值；
（Ⅲ）当整数n≥3时，证明：．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x²-aln（x+1），其中a∈R．
（Ⅰ）若f'（1）=0，求a的值；
（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式都成立．