2011-2012学年福建省厦门市双十中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在三角形△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对应边，若asinA=bsinB，则三角形ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形

2. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-2n²+25n，则关于{a_n}正确说法是（ ）
A．{a_n}是公差是-2的等差数列
B．{a_n}是公差是4的等差数列
C．{a_n}是公差是-4的等差数列
D．{a_n}公差是2的等差数列

3. 难度：中等

在各项都是正数的等比数列{a_n}中，若a₄•a₇=4，且q=，则a₅等于（ ）
A．1
B．4
C．16
D．

4. 难度：中等

若a＞b＞0，c＜d＜0，则下列关系正确的是（ ）
A．＞
B．＜
C．＜
D．＞

5. 难度：中等

x是方程x²-3x-4=0的解，是x=4的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要

6. 难度：中等

由平面区域：表示的点所成的集合是M，由平面区域：表示的点所成的集合是N，则关于集合M、N描述正确的是（ ）
A．M⊄N
B．M∩N=∅
C．N⊆M
D．M⊆N

7. 难度：中等

等差数列{a_n}中，前2m项之和S_2m=100，且a_m+1+a_m+2+…+a_3m=200，则a_m+1+a_m+2+…+a_2m等于（ ）
A．50
B．75
C．100
D．125

8. 难度：中等

若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）²-c²=4，且C=60°，则ab的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．

9. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（ ）
A．
B．4
C．
D．5

10. 难度：中等

若x，y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（ ）
A．（-1，2）
B．（-4，2）
C．（-4，0]
D．（-2，4）

二、填空题

11. 难度：中等

在△ABC中，∠A=60°，a=4，b=4，则B等于    ．

12. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比，前n项和为S_n，则=    ．

13. 难度：中等

已知三角形ABC的面积是9，角A，B，C成等差数列，其对应边分别是a，b，c，则a+c的最小值是    ．

14. 难度：中等

已知不等式3x+c＞0的解集是（-2，+∞），则不等式cx²+（c+1）x+1＜0的解集是    ．

15. 难度：中等

设x，y为实数，若4x²+y²+xy=1，则2x+y的最大值是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，BC=2，AC=3，sinC=2sinA
（1）求AB的值；
（2）求△ABC的面积．

17. 难度：中等

一商船行至某海域时遇险，随即发出求助信号．正在该海域执行护航任务的“海鹰”号舰在A处获悉后，测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处（方位角是沿正北方向顺时针旋转的角），此后该商船沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度航行，“海鹰”号舰随即以21海里/小时的速度前去营救，求“海鹰”号舰靠近商船所需的最少时间及经过路程．

18. 难度：中等

已知方程x²+（2k-1）x+k²=0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．

19. 难度：中等

小李在一旅游景区附近租下一个小店面卖纪念品和T恤，由于经营条件限制，他最多进50件T恤和30件纪念品，他至少需要T恤和纪念品40件才能维持经营，已知进货价为T恤每件36元，纪念品每件50元，现在他有2400元可进货，假设每件T恤的利润是18元，每件纪念品的利润是20元，问怎样进货才能使他的利润最大，最大利润为多少？

20. 难度：中等

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项为4，设数列的前n项和为S_n，且，，成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（2）记A_n=+++…+，B_n=+++…+，当n≥2时，试比较A_n与B_n的大小．

21. 难度：中等

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4x-4数列{a_n}满足a₁=2，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，（n∈N⁺）
（1）证明数列{a_n-1}是等比数列；
（2）设b_n=7f（a_n）-g（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，是否存在自然数M使得S_n＜M＜f（x）-g（x）+对任意n∈N^*和任意实数x均成立，若存在求出满足条件的所有自然数M．

22. 难度：中等

已知S_n=（）²+（）²+…+（）²，判断命题＜S_n＜1，对任意的n∈N⁺成立的真假，说明理由．