2008-2009学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

椭圆+=1的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设x∈R，则命题p：x＞0是命题q：x＞-1的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

4. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若=，=，=，则=（ ）
A．+-
B．-+
C．-++
D．-+-

5. 难度：中等

下列说法中正确的是（ ）
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价
C．“a²+b²=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a²+b²≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

6. 难度：中等

若抛物线y²=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（ ）
A．（，）
B．（，）
C．（，）
D．（，）

7. 难度：中等

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，向量、、是（ ）
A．有相同起点的向量
B．等长向量
C．共面向量
D．不共面向量

8. 难度：中等

已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．（￢p）∨q
B．p∧q
C．（￢p）∧（￢q）
D．（￢p）∨（￢q）

9. 难度：中等

已知椭圆的焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），P是椭圆上一点，且|F₁F₂|是|PF₁|，|PF₂|等差中项，则椭圆的方程是（ ）
A．+=1
B．+=1
C．+=1
D．+=1

10. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁ C和C₁D与底面A₁B₁C₁D₁所成的角分别为60°和45°，则异面直线B₁C和C₁D所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知F₁，F₂是双曲线的两个焦点，过F₂作垂直于实轴的直线PQ交双曲线于P，Q两点，若∠PF₁Q=，则双曲线的离心率e等于（ ）
A．-1
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧面ABB₁A₁内有一动点P到直线A₁B₁和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

命题：∀x∈R，x＞0的否定是    ．

14. 难度：中等

已知=3+2-，=-+2，则5与3的数量积等于    ．

15. 难度：中等

双曲线8kx²-ky²=8的一个焦点为（0，3），则k的值为    ．

16. 难度：中等

已知空间三点O（0，0，0），A（-1，1，0），B（0，1，1），若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点分别是F₁（0，-1），F₂（0，1），3a²=4b²：
（Ⅰ）求椭圆的方程；  
（Ⅱ）设点P在这个椭圆上，且|PF₁|-|PF₂|=1，求∠F₁PF₂的余弦值．

18. 难度：中等

已知双曲线的焦点在y轴上，两顶点间的距离为4，渐近线方程为y=±2x．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中双曲线的焦点F₁，F₂关于直线y=x的对称点分别为F₁′，F₂′，求以F₁′，F₂′为焦点，且过点P（0，2）的椭圆方程．

19. 难度：中等

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．