2012-2013学年山东省青岛二中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（ ），
p₁：|z|=2，
p₂：z²=2i，
p₃：z的共轭复数为1+i，
p₄：z的虚部为-1．
A．p₂，p₃
B．p₁，p₂
C．p₂，p₄
D．p₃，p₄

3. 难度：中等

“因为指数函数y=a^x是增函数（大前提），而y=（）^x是指数函数（小前提），所以y=（）^x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（ ）
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提错都导致结论错

4. 难度：中等

已知，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若曲线处的切线分别为l₁，l₂，且l₁⊥l₂，则a的值为（ ）
A．-2
B．2
C．
D．-

6. 难度：中等

（理科做）设f（x）为可导函数，且满足，则过曲线y=f（x）上点（1，f（1））处的切线率为
（ ）
A．2
B．-1
C．1
D．-2

7. 难度：中等

如图是导函数y=f′（x）的图象，则下列命题错误的是（ ）
A．导函数y=f′（x）在x=x₁处有极小值
B．导函数y=f′（x）在x=x₂处有极大值
C．函数y=f（x）在x=x₃处有极小值
D．函数y=f（x）在x=x₄处有极小值

8. 难度：中等

=2，则实数a等于（ ）
A．-1
B．1
C．-
D．

9. 难度：中等

函数y=xlnx在（0，5）上是（ ）
A．单调增函数
B．在（0，）上单调递增，在（，5）上单调递减
C．单调减函数
D．在（0，）上单调递减，在（，5）上单调递增．

10. 难度：中等

用数学归纳法证明不等式的过程中，由“k推导k+1”时，不等式的左边增加了（ ）
A．
B．
C．
D．以上都不对

11. 难度：中等

设a＞0，f（x）=ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x，f（x））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（ ）
A．[0，]
B．[0，]
C．[0，||]
D．[0，||]

12. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x＞0，f（x）+xf′（x）＞0（其中f′（x）是f（x）的导函数），a={4}f4，b=f（）设c=（lg），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞b
B．c＞b＞a
C．a＞b＞c
D．a＞c＞b

二、填空题

13. 难度：中等

若z为复数，且（1-i）z=1+i，则|z|=    ．

14. 难度：中等

由曲线围成区域面积为    ．

15. 难度：中等

德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形，单位分数是分子为1，分母为正整数的分数称为莱布尼兹三角形：根据前5行的规律，写出第6行第3个数是    ．

16. 难度：中等

已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-x²在x轴上方的曲线上，则矩形的面积最大为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

（Ⅰ）已知z∈C，且|z|-i=+2+3i（i为虚数单位），求复数的虚部．
（Ⅱ）已知z₁=a+2i，z₂=3-4i（i为虚数单位），且为纯虚数，求实数a的值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值．
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}，a₁=b₁=2，a₂=b₂=4．
（I）求a_n、b_n；
（Ⅱ）对于∀n∈N^*，试比较a_n、b_n的大小并用数学归纳法证明你的结论．

21. 难度：中等

设函数f（x）=4lnx-（x-1）²．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x²-4x-a=0在区间[1，e]内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

函数f（x）=x²-mln+mx-2m，其中m＜0．
（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）已知当m≤-（其中e是自然对数的底数）时，在x∈（-，]至少存在一点x，使f（x）＞e+1成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：当m=-1时，对任意x₁，x₂∈（0，1），x₁≠x₂，有＜．

23. 难度：中等

定义在R⁺上的函数f（x），g（x）满足函数f（x）=x²-alnx在[1，2]上为增函数，g（x）=x-a在（0，1）为减函数．
（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）当b＞-1时，若f（x）≥2bx-在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．