2012-2013学年山东省威海市荣成市高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知条件p：x＞2，条件q：x＞0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₁，a₃，a₄成等比数列，则a₁=（ ）
A．-4
B．-6
C．-8
D．-10

3. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a²+b²-c²＜0，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．钝角三角形

4. 难度：中等

对于任意实数a、b、c、d，下列命题中，真命题为（ ）
①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；
②若a＞b，则ac²＞bc²；
③若ac²＞bc²，则a＞b；
④若a＞b，则＜．
A．①
B．②
C．③
D．④

5. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知△ABC的三内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是（ ）
A．（-4，1）
B．（-1，4）
C．（-∞，-4）∪（1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（4，+∞）

8. 难度：中等

设a＞0，b＞0．若3是3^a与3^b的等比中项，则的最小值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．

9. 难度：中等

某种产品平均三年降低价格的，目前售价为640元，9年后售价为（ ）
A．210
B．240
C．270
D．360

10. 难度：中等

已知向量，，若成120°的角，则k=（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

在数列{a_n}中，a_n+1=ca_n（c为非零常数）且前n项和S_n=3ⁿ+k，则k等于（ ）
A．-1
B．1
C．0
D．2

12. 难度：中等

已知，则m，n之间的大小关系是（ ）
A．m＞n
B．m＜n
C．m=n
D．m≤n

二、填空题

13. 难度：中等

若不等式ax²+bx+2＞0的解集为{x|-}，则a+b=    ．

14. 难度：中等

已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，a=，b=1，B=30°，则S_△ABC=    ．

16. 难度：中等

给定下列命题：
（1）“若m＞0，则方程x²+2x-m=0有实数根”的逆否命题；
（2）“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件；
（3）命题“∀x，y∈R，如果xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“∀x，y∈R，如果xy≠0，则x≠0且y≠0”：
（4）“￢p”为真是“p∧q“为假的必要不充分条件
（5）全称命题“∀x∈R，x²+x+3＞0”的否定是“∃x∈R，x²+x+3≤0”
其中真命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，在△ABC中，已知A=60°，b=1，其面积为，
（1）求边长a
（2）求的值．

18. 难度：中等

（1）已知p：25x²-10x+1-a²＞0（a≥0），q：2x²-3x+1＞0，若p是q成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
（2）已知p：方程x²+mx+1=0有两不相等的负实数根；q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3，…）；数列{b_n}中，b₁=1 点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n和为T_n．

20. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD⊥底面ABCD
（1）证明：AD⊥BD；
（2）若二面角P-BC-D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

21. 难度：中等

美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行大型的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足，已知生产该产品还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），每件产品的销售价格定为元．
（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数（利润=总售价-成本-促销费）；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

22. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项S_n满足S_n²=a_n．
（I）求a_n；
（II）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（III）是否存在自然数m，使得对任意n∈N^*，都有T_n＞（m-8）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．