2011-2012学年河北省衡水中学高二（下）三调数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果函数f（x）=x⁴-x²，那么 f′（i）=（ ） （i是虚数单位）
A．-2i
B．2i
C．6i
D．-6i

2. 难度：中等

若一个三角形能分割为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定

3. 难度：中等

函数f（x）=（x-2）（x+1）²在区间[0，2]上的值域为（ ）
A．[-2，0]
B．[-4，1]
C．[-4，0]
D．[-2，9]

4. 难度：中等

下列值等于1的积分是（ ）
A．xd
B．（x+1）d
C．1d
D．d

5. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，PB的长为（ ）cm．

A．
B．
C．4
D．3

6. 难度：中等

家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预期运输任务Q，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

将y=f（x）的图象的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的，则所得函数的解析式为（ ）
A．y=3f（3x）
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图所示，圆的内接△ABC的∠C的平分线CD延长后交圆于点E，连接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段BE=（ ）

A．
B．
C．
D．4

9. 难度：中等

用数学归纳法证明，第二步证明从k到k+1，左端增加的项数为（ ）
A．2^k-1
B．2^k
C．2^k-1
D．2^k+1

10. 难度：中等

在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与方程（ρ＞0）所表示的图形的交点的极坐标是（ ）
A．（1，1）
B．
C．
D．

11. 难度：中等

AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC长为（ ）
A．
B．3
C．
D．2

12. 难度：中等

函数为f（x）的导函数，令则下列关系正确的是（ ）
A．f（a）＞f（b）
B．f（a）＜f（b）
C．f（a）=f（b）
D．f（|a|）＞f（b）

二、填空题

13. 难度：中等

若m∈R，复数（2m²-3m-2）+（m²-3m+2）i表示纯虚数的充要条件是    ．

14. 难度：中等

=    ．

15. 难度：中等

把极坐标系中的方程ρcos（θ-）=2化为直角坐标形式下的方程为    ．

16. 难度：中等

如图，圆O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，PB=OA=2，则PF=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C₂的参数方程为
（1）求曲线C₁的直角坐标方程和曲线C₂的普通方程；
（2）当曲线C₁和曲线C₂没有公共点时，求α的取值范围．

18. 难度：中等

如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB的平分线DC交AE于点F，交AB于D点．
（I）求∠ADF的度数；
（II）当AB=AC时，求证：∠ACE∽△BCA，并求相似比的值．

19. 难度：中等

二次函数f（x），又的图象与x轴有且仅有一个公共点，且f′（x）=1-2x．
（1）求f（x）的表达式．
（2）若直线y=kx把y=f（x）的图象与x轴所围成的图形的面积二等分，求k的值．

20. 难度：中等

某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质：
①输入1时，输出结果是；
②输入整数n（n≥2）时，输出结果f（n）是将前一结果f（n-1）先乘以3n-5，再除以3n+1．
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）试由（1）推测f（n）（其中n∈N*）的表达式，并给出证明．

21. 难度：中等

如图所示，已知PA切圆O于A，割线PBC交圆O于B、C，PD⊥AB于D，PD与AO的延长线相交于点E，连接CE并延长交圆O于点F，连接AF．
（1）求证：B，C，E，D四点共圆；
（2）当AB=12，时，求圆O的半径．

22. 难度：中等

已知函数f（x）的导数f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．
（Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）•e^2x，试判断函数F（x）的极值点个数．