2012-2013学年山东省青岛市莱西市高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i为虚数单位）等于（ ）
A．2-2i
B．i
C．2+i
D．1

2. 难度：中等

的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

复数的虚部为（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

4. 难度：中等

设复数=1-3i，z₂=3-2i，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限

5. 难度：中等

在空间直角坐标系中，若向量，则它们之间的关系是（ ）
A．且
B．且
C．且
D．且

6. 难度：中等

若y=f（x）的图象如图所示，定义，则下列对F（x）的性质描述正确的有（ ）
①F（x）是[0，1]上的增函数，
②，
③F（x）是[0，1]上的减函数，
④．

A．②
B．①②
C．①②④
D．①④

7. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=AA₁=2，AD=1，E为CC₁的中点，则异面直线BC₁与AE所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．-1＜a＜2
B．-3＜a＜6
C．a＜-3或a＞6
D．a＜-1或a＞2

9. 难度：中等

若（1+2ai）i=1-bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（ ）
A．
B．
C．+i
D．

10. 难度：中等

函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）-f（2）
B．0＜f′（3）＜f（3）-f（2）＜f′（2）
C．0＜f（3）＜f′（2）＜f（3）-f（2）
D．0＜f（3）-f（2）＜f′（2）＜f′（3）

11. 难度：中等

在空间直角坐标系O-xyz中，已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时f（x）+xf'（x）＜0恒成立，若a=3^0.3f（3^0.3），b=（1og_π3）f（1og_π3），，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＞a＞c
B．a＞c＞b
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b

二、填空题

13. 难度：中等

设函数f（x）=x²-6x，则f（x）在x=0处的切线斜率为    ．

14. 难度：中等

记复数，则ω²+ω等于    ．

15. 难度：中等

已知四面体四个顶点分别为A（2，3，1）、B（4，1，-2）、C（6，3，7）和D（-5，-4，8），则顶点D到平面ABC的距离为    ．

16. 难度：中等

给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f^″（x）=（f′（x））′，若f^″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．对于给出的四个函数：
①f（x）=sinx+cosx，②f（x）=lnx-2x，③f（x）=-x⁴+x³-x²+1，④f（x）=-xe^-x
以上四个函数在上是凸函数的是    （请把所有正确的序号均填上）

三、解答题

17. 难度：中等

（Ⅰ）已知f（x）=x³+x，求这个函数的图象在点x=0处的切线方程；
（Ⅱ）计算+．

18. 难度：中等

已知复数z=（2+i）m²--2（1-i）（i为虚数的单位），当实数m取什么值时，复数z是
（Ⅰ）纯虚数；
（Ⅱ）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．

19. 难度：中等

已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设，．
（Ⅰ）求和的夹角θ的余弦值；
（Ⅱ）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（Ⅲ）若向量与共线，求实数λ的值．

20. 难度：中等

已知函数f_n（x）=x³-nx-1（x＞0，n∈N^*）．
（Ⅰ）求函数f₃（x）的极值；
（Ⅱ）判断函数f_n（x）在区间上零点的个数，并给予证明．

21. 难度：中等

如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面 DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O为AB的中点．
（1）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；
（2）当a为何值时，在棱DE上存在点P，使CP⊥平面DEF？

22. 难度：中等

已知函数f（x）=-x（0＜x＜）．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求证：不等式sin³x＞x³cosx在上恒成立；
（Ⅲ）求g（x）=在的最大值．