2006-2007学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

0＜x＜1是0＜x²＜1的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

函数f（x）=•a^x（a＞1）图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如图，一个空间几何体的正视图（或称主视图）、侧视图（或称左视图）、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为，那么这个几何体的体积为（ ）
A．1
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x的最小正周期和最小值为（ ）
A．π，0
B．2π，0
C．
D．2

5. 难度：中等

在下面的程序框图中，输出的数s=（ ）

A．25
B．30
C．55
D．91

6. 难度：中等

点（3，1）和点（-4，6）在直线3x-2y+a=0两侧，则a的范围是（ ）
A．a＜-7或a＞24
B．-7＜a＜24
C．a=-7或a=24
D．-24＜a＜7

7. 难度：中等

已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，则的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

对任意实数a、b，定义运算“*”：a*b=则函数f（x）=（3x-2）*log₂x的值域为（ ）
A．[0，+∞）
B．（-∞，0]
C．（log₂，0）
D．（log₂，+∞）

二、填空题

9. 难度：中等

函数y=sinx的图象与x轴在[0，π]范围内围成的封闭图形的面积是    ．

10. 难度：中等

已知椭圆离心率为，一个短轴顶点是（0，-8），则此椭圆的标准方程为    ．

11. 难度：中等

已知f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足，，则f（2007）=    ．

12. 难度：中等

已知等式cosα•cos2α=，cosα•cos2α•cos4α=，…，请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知等式（不要求证明），那么这个等式是：    ．

13. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）从不在⊙O上的一点A作直线交⊙O于B、C两点，且AB•AC=60，OA=8，则⊙O的半径等于    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）点P（-3，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的最短距离为    ．

15. 难度：中等

（不等式选讲选做题）已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，则的最大值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6．
（1）求的值；
（2）求的值．

17. 难度：中等

甲、乙两名篮球运动员，各自的投篮命中率分别为0.5与0.8，如果每人投篮两次．
（1）求甲比乙少投进一次的概率；
（2）若投进一个球得2分，未投进得0分，求两人得分之和ξ的期望Eξ．

18. 难度：中等

18、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，AB=2，∠PDA=45°，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求异面直线EF与CD所成的角；
（3）若AD=3，求点D到面PEF的距离．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³-2bx²+3cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取极小值-．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论．

20. 难度：中等

已知一动圆P与定圆（x-1）²+y²=1和y轴都相切，
（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）过定点A（1，2），作△ABC，使∠BAC=90°，且动点B，C在P的轨迹M上移动（B，C不在坐标轴上），问直线BC是否过某定点？证明你的结论．

21. 难度：中等

已知数列{x_n}，{y_n}满足x₁=y₁=1，x₂=y₂=2，并且x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0，y_n+1-（λ+1）y_n+λy_n-1≥0（λ为非零参数，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁，x₃，x₅成等比数列，求参数λ的值；
（2）当λ＞0时，证明x_n+1-y_n+1≤x_n-y_n（n∈N^*）；
（3）设0＜λ＜1，k∈N^*，证明：（x₂-x₁）+（x₄-x₂）+（x₆-x₃）+…+（x_2k-x_k）＜．