2012-2013学年辽宁省大连市高一（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列图形中，表示集合M⊆N关系的韦恩图是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知直线x+my-1=0与直线x-2y+2=0平行，则m的值为（ ）
A．-2
B．-
C．2
D．

3. 难度：中等

函数f（x）=x³的图象关于（ ）
A．y轴对称
B．坐标原点对称
C．直线y=x对称
D．直线y=-x对称

4. 难度：中等

直线l的方程x=5，圆C的方程是（x-2）²+y²=9，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．相交或相切

5. 难度：中等

已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是（ ）
A．
B．
C．4
D．9

6. 难度：中等

如图为函数y=m+log_nx 的图象，其中m、n为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．m＜0，n＞1
B．m＞0，n＞1
C．m＞0，0＜n＜1
D．m＜0，0＜n＜1

7. 难度：中等

在用二分法求方程x³-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为（ ）
A．（1.4，2）
B．（1，1.4）
C．（1，1.5）
D．（1.5，2）

8. 难度：中等

已知函数y=log₂（x²-2kx+k）的值域为R，则k的取值范围是（ ）
A．0＜k＜1
B．0≤k＜1
C．k≤0或k≥1
D．k=0或k≥1

9. 难度：中等

在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若过点A（4，0）的直线l与曲线（x-2）²+y²=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

点P（4，-2）与圆x²+y²=4上任一点连线的中点轨迹方程是（ ）
A．（x-2）²+（y+1）²=1
B．（x-2）²+（y+1）²=4
C．（x+4）²+（y-2）²=1
D．（x+2）²+（y-1）²=1

12. 难度：中等

已知函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x₁，x₂∈D（x₁≠x₂），都有f（）＜，则称y=f（x）为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为（ ）
A．y=log₂
B．y=
C．y=x³
D．y=x²

二、填空题

13. 难度：中等

设a=3^0.2，，，则a，b，c从大到小的顺序为    ．

14. 难度：中等

过点P（1，2）引一直线，使其倾斜角为直线l：x-y-3=0的倾斜角的两倍，则该直线的方程是    ．

15. 难度：中等

给出下列四个命题：
①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；
②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面；
③若直线l∥平面α，直线m∥平面α，则l∥m；
④若直线a∥直线b，且直线l⊥a，则l⊥b．
其中正确命题的序号是    ．

16. 难度：中等

从点P出发三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为，则OP的距离为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=-4x²+8x-3．
（Ⅰ）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）．

18. 难度：中等

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E是PD的中点．证明：
（Ⅰ）PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）PB∥平面EAC．

19. 难度：中等

如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图（其中主视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图所示）．

（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）若G为BC的中点，求证：AE⊥PG．

20. 难度：中等

已知函数g（x）=-x²-3，f（x）是二次函数，当x∈[-1，2]时f（x）的最小值为1，且f（x）+g（x）为奇函数，求函数f（x）的解析式．

21. 难度：中等

已知圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB的面积的最小值．

22. 难度：中等

定义：对于任意x∈[0，1]，函数f（x）≥0恒成立，且当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称f（x）为G函数．已知函数g（x）=x²与h（x）=a-2^x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，利用函数图象讨论方程g（2^x）+h（-2x+1）=m（m∈R）解的个数情况．