2011-2012学年青海省湟川中学高三（上）第二次月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合I={ x||x-2|≤2，x∈N^*}，P={ 1，2，3 }，Q={ 2，3，4 }，则∁_I（P∩Q）=（ ）
A．{1，4}
B．{2，3}
C．{1}
D．{4}

2. 难度：中等

已知等差数列a_n的前n项和为S_n，若a₃=18-a₆，则S₈=（ ）
A．18
B．36
C．54
D．72

3. 难度：中等

若向量、、，满足，则、、满足（ ）
A．一定能构成一个三角形
B．一定不能构成一个三角形
C．都是非零向量时一定能构成一个三角形
D．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形

4. 难度：中等

设x，y满足条件，x≤0，y≤x，2x-y≤1则3x+2y的最大值是（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1

5. 难度：中等

若，则a₂的值是（ ）
A．84
B．-84
C．42
D．-42

6. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA₁，则异面直线BA₁与AC₁所成的角等于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

7. 难度：中等

（理科做）函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，向左平移一个长度单位后仍关于直线y=x对称，若f（1）=0，则f（2011）=（ ）
A．-2010
B．2010
C．-2011
D．2011

8. 难度：中等

设函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x），且函数y=x-f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f^-1（x）-x的图象一定过点（ ）
A．（-1，2）
B．（2，1）
C．（2，3）
D．（1，1）

9. 难度：中等

已知函数①y=sinx+cosx，②，则下列结论正确的是（ ）
A．两个函数的图象均关于点成中心对称
B．两个函数的图象均关于直线成中心对称
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同

10. 难度：中等

已知动圆C经过点F（0，1），并且与直线y=-1相切，若直线3x-4y+20=0与圆C有公共点，则圆C的面积（ ）
A．有最大值为π
B．有最小值为π
C．有最大值为4π
D．有最小值为4π

11. 难度：中等

（文科做）已知直线l过点P（2，1），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

把编号为1，2，3，4，5的五个球全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球，且编号为1，2的两个球不能放入同一个盒子中，则不同放法的总数是（ ）
A．144
B．114
C．108
D．78

13. 难度：中等

若不等式|x-a|-|x|＜2-a²当x∈R时总成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-2，2）
B．（-2，1）
C．（-1，1）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

14. 难度：中等

设f（x）=则不等式f（x）＞2的解集为（ ）
A．（1，2）∪（3，+∞）
B．（，+∞）
C．（1，2）∪（，+∞）
D．（1，2）

15. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，则抛物线的方程为（ ）
A．y²=4
B．y²=8
C．y²=16
D．

16. 难度：中等

设斜率为2的直线l过抛物线y²=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A．y²=±4
B．y²=4
C．y²=±8
D．y²=8

二、填空题

17. 难度：中等

i¹+i²+i³+…+i²⁰⁰⁰=    ．

18. 难度：中等

若tanθ=2，则2sin²θ-3sinθcosθ=    ．

19. 难度：中等

（理科做）=    ．

20. 难度：中等

（文科做）一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分（如图），只记得样本中数据在[20，60）上的频率为0.8，则估计样本在[40，60）内的数据个数为    ．

21. 难度：中等

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点在同一球面上，且任意两个顶点的球面距离的最大值和最小值分别为2π和，则正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为    ．

22. 难度：中等

设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b，ab、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集也是数域．有下列命题：
①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．
其中正确的命题的序号是    ．（把你认为正确的命题的序号填填上）

三、解答题

23. 难度：中等

已知函数（ω＞0）的最小正周期为3π，
（Ⅰ）当 时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

24. 难度：中等

为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立．
（1）求4人恰好选择了同一家公园的概率；
（2）设选择甲公园的志愿者的人数为X，试求X的分布列及期望．

25. 难度：中等

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图2．
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的正切值；
（3）在线段BC上是否存在点F，使SF∥平面EAC？若存在，确定F的位置，若不存在，请说明理由．

26. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足，T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1，若对一切n∈N^*不等式4mT_n＞c_n恒成立，求实数m的取值范围．

27. 难度：中等

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂+a₄=6，S₄=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

28. 难度：中等

已知F₁，F₂分别是椭圆的左、右 焦点，已知点N满足，且且设A，B上半椭圆上满足的两点．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若，求直线AB的斜率．

29. 难度：中等

（理科做）已知函数f（x）=lnx-a²x²+ax（a≥0）．
（1）当a=1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

30. 难度：中等

（文科做）函数f（x）=ax³-6ax²+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）的图象与的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．