2012-2013学年广东省珠海市红旗中学高三（上）12月月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设非空集合A，B满足A⊆B，则（ ）
A．∃x∈A，使得x∉B
B．∀x∈A，有x∈B
C．∃x∈B，使得x∉A
D．∀x∈B，有x∈A

2. 难度：中等

已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x-2）i-y=1，则（1+i）^x-y的值为（ ）
A．4
B．-4
C．-2i
D．-2+2i

3. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁+a₃+a₅=2π，则cosa₃=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则z=2^x•4^y的最大值为（ ）
A．64
B．32
C．2
D．

5. 难度：中等

在△ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，，则=（ ）
A．（-2，7）
B．（-6，21）
C．（2，-7）
D．（6，-21）

6. 难度：中等

已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．8
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数y=cos²（x-）是（ ）
A．最小正周期是π的偶函数
B．最小正周期是π的奇函数
C．最小正周期是2π的偶函数
D．最小正周期是2π的奇函数

8. 难度：中等

从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为（ ）

A．20
B．25
C．30
D．35

9. 难度：中等

设函数=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数f_K（x）=取函数f（x）=2^-|x|．当K=时，函数f_K（x）的单调递增区间为（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，+∞）
C．（-∞，-1）
D．（1，+∞）

10. 难度：中等

设椭圆=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，右焦点F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个根分别为x₁，x₂，则点P（x₁，x₂）在（ ）
A．圆x²+y²=2内
B．圆x²+y²=2上
C．圆x²+y²=2外
D．以上三种情况都有可能

二、填空题

11. 难度：中等

如果执行如图所示的程序框图，输入x=-1，n=3，则输出的数S=    ．

12. 难度：中等

有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O₁，O₂分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O₁，O₂的距离都大于1的概率为    ．

13. 难度：中等

在同一平面直角坐标系中，已知函数y=f（x）的图象与y=e^x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（x）对应的曲线在点（e，f（e））处的切线方程为    ．

14. 难度：中等

如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为    ．

15. 难度：中等

直线（t为参数）与曲线 （α为参数）的交点个数为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设，则，求α的值．

17. 难度：中等

某中学在校就餐的高一年级学生有440名，高二年级学生有460名，高三年级学生有500名；为了解学校食堂的服务质量情况，用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级：1级（很不满意）；2级（不满意）；3级（一般）；4级（满意）；5级（很满意），其统计结果如下表（服务满意度为x，价格满意度为y）．

价格满意度
1	2	3	4	5
1	1	1	2	2
2	2	1	3	4	1
3	3	7	8	8	4
4	1	4	6	4	1
5		1	2	3	1

（1）求高二年级共抽取学生人数；
（2）求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”数据的方差；
（3）为提高食堂服务质量，现从x＜3且2≤y＜4的所有学生中随机抽取两人征求意见，求至少有一人的“服务满意度”为1的概率．

18. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．
（1）求此四棱锥的体积；
（2）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；
（3）在（2）的条件下，若F是PC的中点，证明：直线AE和直线BF既不平行也不异面．

19. 难度：中等

设．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=a处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性．

20. 难度：中等

如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．
（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．

21. 难度：中等

设n∈N^*，圆C_n：x²+y²=（R_n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线的交点为N（），直线MN与x轴的交点为A（a_n，0）．
（1）用n表示R_n和a_n；
（2）求证：a_n＞a_n+1＞2；
（3）设Sn=a₁+a₂+a₃+…+a_n，T_n=，求证：．