2005-2006学年广东省佛山市顺德区高三（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知A={x|＜-1}，若∁_AB={x|x+4＜-x}，则集合B=（ ）
A．{x|-2≤x＜3}
B．{x|-2＜x≤3}
C．{x|-2＜x＜3}
D．{x|-2≤x≤3}

2. 难度：中等

函数y=log₂|x+1|的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

=（ ）
A．tanα
B．tan2α
C．1
D．

4. 难度：中等

若图中的直线l₁，l₂，l₃的斜率为k₁，k₂，k₃则（ ）

A．k₁＜k₂＜k₃
B．k₃＜k₁＜k₂
C．k₂＜k₁＜k₃
D．k₃＜k₂＜k₁

5. 难度：中等

已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（ ）
A．
B．
C．
D．4

6. 难度：中等

下面程序运行后，输出的值是（ ）

A．42
B．43
C．44
D．45

7. 难度：中等

若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）
A．2，2
B．2，2
C．4，2
D．2，4

8. 难度：中等

已知高为3的直棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B₁-ABC的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3），则△ABC中的∠BAC的大小是    ．

10. 难度：中等

已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面展开图--扇形的圆心角是    度．

11. 难度：中等

点P在平面上作匀速直线运动，速度向量（4，-3）（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为||个单位）．设开始是点P的坐标为（10，10），则5秒后点P的坐标为    ．

12. 难度：中等

已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是    ．

13. 难度：中等

如果数据x₁、x₂、…、x_n 的平均值为，方差为S²，则3x₁+5、3x₂+5、…、3x_n+5 的平均值为    ，方差为    ．

14. 难度：中等

已知n次多项式P_n（x）=axⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n．
如果在一种算法中，计算x^k（k=2，3，4，…，n）的值需要k-1次乘法，计算P₃（x）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P_n（x）的值共需要    次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：P（x）=a．P_n+1（x）=xP_n（x）+a_k+1（k=0，l，2，…，n-1）．利用该算法，计算P₃（x）的值共需要6次运算，计算P_n（x）的值共需要    次运算．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ x+）+sin（x-）+cosx+a的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）求使f （x）≥0成立的x的取值集合；
（3）若 x∈[0，π]，求函数的值域．

16. 难度：中等

甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘轮船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率．

17. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明：无论m取什么实数，L与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时直线L的斜截式方程．

18. 难度：中等

在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=BC．
（I）证明：FO∥平面CDE；
（Ⅱ）设BC=CD，证明EO⊥平面CDF．

19. 难度：中等

康成塑料制品厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件，1.2万件、1.3万件，为估测作依据，用一个函数模拟该产品的月产量y和月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数y=ax²+bx+c或函数 y=a•b^x+c （其中a、b、c为常数，a≠0），已知4月份该产品的产量为1.37万件，问用上述哪个函数作为模拟函数好？请说明理由．

20. 难度：中等

（文）定义在R上函数f（x）对任意实数x、y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）证明当x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）如果对任意实数x、y有f（x²）•f（y²）≤f（axy）恒成立，求实数a的取值范围．