2012-2013学年浙江省宁波市宁海县正学中学高三（上）第二次段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x≥3}，B={x|（x-2）（x-4）＜0}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＜2}
B．{x|3≤x＜4}
C．{x|3≤x≤4}
D．{x|x＞4}

2. 难度：中等

等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，且a₇-2a₄=-1，a₃=0，则公差d=（ ）
A．-2
B．-
C．
D．2

4. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确是（ ）
A．若m⊥n，n⊂α，则m⊥α
B．若m⊥α，m∥n，则n⊥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

5. 难度：中等

下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1
B．a＞b-1
C．a²＞b²
D．a³＞b³

6. 难度：中等

函数y=a^x-2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（ ）
A．（0，1）
B．（1，1）
C．（2，0）
D．（2，2）

7. 难度：中等

如图中的三个直角三角形是一个体积为40cm³的几何体的三视图，则h等于（ ），h（单位：cm）
A．8
B．6
C．4
D．2

8. 难度：中等

设a，b∈R且a+b=3，则2^a+2^b的最小值是（ ）
A．4
B．2
C．16
D．8

9. 难度：中等

已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2-）•=（ ）
A．9
B．10
C．12
D．13

10. 难度：中等

如图所示的是函数f（x）=x³+bx²+cx+d的大致图象，则x₁²+x₂²等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

函数f（x）=lg（x-1）的定义域是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，∠A=45°，a=，b=3，则∠B=    ．

13. 难度：中等

已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=    ．

14. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P，Q分别为棱AB，BC，CD，CC₁的中点，直线MN与PQ所成的角的正切值为    ．

15. 难度：中等

在数列{a_n}中，若a₁=1，a_n+1=2a_n+3（n≥1），则该数列的通项a_n=    ．

16. 难度：中等

已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x-4y-9=0的距离的最小值为    ．

17. 难度：中等

设函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥a x成立，则实数a的取值范围为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

设函数f（x）=sinxcosx+cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．

19. 难度：中等

P（2，1）在圆x²+y²-8x-4y+11=0内，过点P做圆的割线l，交圆于A、B两点．
（1）若|AB|最短，求最短长度及此时直线l的方程；
（2）若，求直线l的方程．

20. 难度：中等

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=2，∠BCA=90°，棱AA₁=4，E、M、N分别是CC₁、A₁B₁、AA₁的中点．
（1）求证：A₁B⊥C₁M；
（2）求BN的长；
（3）求二面角B₁-A₁E-C₁平面角的余弦值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+2ln（x+1），其中a为实数．
（1）若f（x）在x=1处有极值，求a的值；
（2）若f（x）在[2，3]上是增函数，求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点在直线y=x+4上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₄=8，前11项和为154．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值；
（3）设是否存在m∈N^*，使得f（m+9）=3f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．