2012-2013学年福建省莆田市仙游一中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛掷3枚质地均匀的硬币，A={既有正面向上又有反面向上}，B={至多有一个反面向上}，则A与B关系是（ ）
A．互斥事件
B．对立事件
C．相互独立事件
D．不相互独立事件

2. 难度：中等

已知随机变量X～B（n，0.8），D（X）=1.6，则n的值是（ ）
A．8
B．10
C．12
D．14

3. 难度：中等

若复数z=1+i（i是虚数单位），则（ ）
A．2z²-2z-1=0
B．2z²-2z+1=0
C．z²-2z-2=0
D．z²-2z+2=0

4. 难度：中等

已知点M的极坐标是，它关于直线θ=的对称点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图的倒三角形数阵满足：（1）第1行的，n个数，分别  是1，3，5，…，2n-1；（2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有n行．问：当n=2012时，第32行的第17个数是（ ）

A．2³⁷
B．2³⁶+2012
C．2³⁶
D．2³²

6. 难度：中等

已知函数在（1，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a
B．b＜a＜c
C．c＜a＜b
D．a＜b＜c

8. 难度：中等

已知一个命题P（k），k=2n（n∈N），若n=1，2，…，1000时，P（k）成立，且当n=1000+1时它也成立，下列判断中，正确的是（ ）
A．P（k）对k=2013成立
B．P（k）对每一个自然数k成立
C．P（k）对每一个正偶数k成立
D．P（k）对某些偶数可能不成立

9. 难度：中等

已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e^x-1）（x-1）^k（k=1，2），则（ ）
A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值
B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值
C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值
D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值

10. 难度：中等

如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，现有4种不同颜色将它染色，使相邻三角形均不同色，求使△AOB与△COD 同色且△BOC与△AOD也同色的概率（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在一次数学考试中，某班学生的分数服从X～N（110，20²）且知满分为150分，这个班的学生共56人，求这个班在这次数学考试中130分以上的人数大约是    ．

12. 难度：中等

=    ．

13. 难度：中等

某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选选3人参加学校的义务劳动．设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P（B|A）=    ．

14. 难度：中等

计算，可以采用以下方法：构造恒等式，两边对x求导，得，在上式中令x=1，得．类比上述计算方法，计算=    ．

15. 难度：中等

下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），则g′（2013）=2012!；
④函数的单调递增区间是
其中真命题为    ．（填序号）

三、解答题

16. 难度：中等

已知展开式中偶数项二项式系数的和比（a+b）ⁿ展开式的各项系数和大112．
（1）求n；
（2）在（1）的条件下，求（a-b）²ⁿ展开式中系数最大的项；
（3）求展开式中的所有的有理项．

17. 难度：中等

“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

	男性	女性	合计
反感	10	______	______
不反感	______	8	______
合计	______	______	30

已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是．
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？
（Ⅱ）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
提示：可参考试卷第一页的公式．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-与x=1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间．
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

19. 难度：中等

在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共8只蝇子：6只果蝇2只苍蝇），只好把笼子打一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔，以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数．
（1）写出ξ的分布列
（2）求数学期望Eξ
（3）求概率P（ξ≥Eξ）

20. 难度：中等

已知大于1的正数x，y，z满足．
（1）求证：．
（2）求的最小值．

21. 难度：中等

已知函数在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设，若在[1，e]上至少存在一个x，使得f（x）-g（x）＞h（x）成立，求m的取值范围．