2012-2013学年广东省中山一中等六校联考高三（上）8月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设z=1-i（为虚数单位），则z²+=（ ）
A．-1-i
B．-1+i
C．1+i
D．1-i

2. 难度：中等

设U=R，集合A={y|y=2^x，x∈R}，B={x∈Z|x²-4≤0}，则下列结论正确的是（ ）
A．A∪B=（0，+∞）
B．（C_uA）∪B=（-∞，0]
C．（C_uA）∩B={-2，1，0}
D．（C_uA）∩B={1，2}

3. 难度：中等

如果直线（2a+5）x+（a-2）y+4=0与直线（2-a）x+（a+3）y-1=0互相垂直，则a=（ ）
A．2
B．-2
C．2，-2
D．2，0，-2

4. 难度：中等

如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：
①f（x）=sinxcosx；②f（x）=2sin（x+）；③f（x）=sinx+cosx；  ④f（x）=sin2x+1．
其中“同簇函数”的是（ ）
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④

5. 难度：中等

（立几）如图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为（ ）
A．16
B．16
C．64+16
D．16+

6. 难度：中等

已知实数x，y满足约束条件’则z=2x-y的取值范围是（ ）
A．[0，1]
B．[1，2]
C．[1，3]
D．[0，2]

7. 难度：中等

若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义：关于x的不等式|x-A|＜B的解集叫A的B邻域．已知a+b-2的a+b邻域为区间（-2，8），其中a、b分别为椭圆的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项a₁=1，若∀n∈N^*，a_n•a_n+1=-2，则a_n=    ．

10. 难度：中等

执行程序框图，如果输入a=4，那么输出n=    ．

11. 难度：中等

某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有    种．（用数字作答）

12. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内（含正方体表面）任取一点M，则的概率p=    ．

13. 难度：中等

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k，已知函数，取函数f（x）=3-x-e^-x．若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有f₁（x）=f（x），则k的最小值为    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，过点作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是    ．

15. 难度：中等

如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设，，
（1）求f（x）的最小正周期、最大值及f（x）取最大值时x的集合；
（2）若锐角α满足，求的值．

17. 难度：中等

某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：

中学	A	B	C	D
人数	30	40	20	10

为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．
（1）问A，B，C，D四所中学各抽取多少名学生？
（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；
（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A中学的学生人数，求ξ的分布列．

18. 难度：中等

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，，过A作AE⊥CD，垂足为E．F、G分别是CE、AD的中点．现将△ADE沿AE折起，使二面角D-AE-C的平面角为135°．
（1）求证：平面DCE⊥平面ABCE；
（2）求直线FG与面DCE所成角的正弦值．

19. 难度：中等

已知椭圆C的中心在原点O，离心率，右焦点为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的上顶点为A，在椭圆C上是否存在点P，使得向量与共线？若存在，求直线AP的方程；若不存在，简要说明理由．

20. 难度：中等

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N₊，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为正常数）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）数列{b_n}满足b₁=2a₁，，（n≥2，n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列{}的前n项和T_n．

21. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）当时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令，（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x，y）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=-1，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．