2012-2013学年浙江省台州市临海市白云高级中学高二（下）第一次段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=x²cosx的导数为（ ）
A．y′=2xcosx-x²sin
B．y′=2xcosx+x²sin
C．y′=x²cosx-2xsin
D．y′=xcosx-x²sin

2. 难度：中等

下列结论中正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x）是极大值
C．如果在x附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x）是极小值
D．如果在x附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x）是极大值

3. 难度：中等

命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是（ ）
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．以上都不是

4. 难度：中等

函数f（x）=3x-4x³（x∈[0，1]）的最大值是（ ）
A．1
B．
C．0
D．-1

5. 难度：中等

复数（）²=（ ）
A．-3-4i
B．-3+4i
C．3-4i
D．3+4i

6. 难度：中等

函数y=cos2x+sin的导数为（ ）
A．-2sin2x+
B．2sin2x+
C．
D．

7. 难度：中等

若函数f（x）=x³-f′（-1）x²+x+5，f′（1）的值为（ ）
A．2
B．-2
C．6
D．-6

8. 难度：中等

函数的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设a，b，c∈（-∞，0），则a+，b+，c+（ ）
A．都不大于-2
B．都不小于-2
C．至少有一个不大于-2
D．至少有一个不小于-2

10. 难度：中等

设，则下列大小关系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知（2x-1）+i=y-（3-y）i，其中x，y∈R，求x=    ，y=    ．

12. 难度：中等

曲线y=2x³-3x²共有    个极值．

13. 难度：中等

对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“    ”，这个类比命题的真假性是    ．

14. 难度：中等

观察式子：1+，1+，1+，…，则可归纳出式子为    ．

15. 难度：中等

周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

求下列函数的导数：
（1）y=x⁴-3x²-5x+6；
（2）y=xsinx；
（3）y=．

17. 难度：中等

已知曲线 y=x³+x-2 在点 P处的切线 l₁ 平行直线4x-y-1=0，且点 P在第三象限，
（1）求P的坐标；
（2）若直线 l⊥l₁，且 l 也过切点P，求直线l的方程．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足条件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₁=1，a₂=6，设b_n=a_n+n，求{b_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+（1-a） x²-a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（I）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称，试判断f（x）在区间[-4，4]上的单调性，并证明你的结论．