2012-2013学年福建省泉州市德化一中高二（下）第二次质检数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若，则的值为（ ）
A．6
B．7
C．35
D．20

2. 难度：中等

下面几种推理中是演绎推理的序号为（ ）
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列{a_n}的通项公式为（n∈N₊）
C．半径为r圆的面积S=πr²，则单位圆的面积S=π
D．由平面直角坐标系中圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，推测空间直角坐标系中球的方程为（x-a）²+（y-b）²+（z-c）²=r²

3. 难度：中等

已知函数f（x）=cos2x，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

从1=1²，2+3+4=3²，3+4+5+6+7=5²中得出第n个等式是（ ）
A．1+2+3+…+n=（2n-1）²
B．n+（n+1）+…+（2n-1）=（2n+1）²
C．n+（n+1）+…+（3n-2）=（2n-1）²
D．n+（n+1）+…+（3n-2）=（2n+1）²

5. 难度：中等

若（2x+1）⁵=a+a₁x+a₂x²+…a₅x⁵，则a₁+a₃+a₅的值为（ ）
A．121
B．122
C．124
D．120

6. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是（ ）
A．三角形的内角至少有一个钝角
B．三角形的内角至少有两个钝角
C．三角形的内角没有一个钝角
D．三角形的内角没有一个钝角或至少有两个钝角

7. 难度：中等

如图中阴影部分的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在区间（0，1）内随机投掷一个点M（其坐标为x），若，则P（B|A）=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知随机变量ξ服从正态分布N（2，a²），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（ ）
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2

10. 难度：中等

将4名新转来的同学全部分配到高三（1）、（2）、（3）三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到高三（1）班，那么不同的分配方案有（ ）
A．12种
B．18种
C．24种
D．30种

11. 难度：中等

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中a、b∈（0，1），已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图，矩形A_nB_nC_nD_n的一边A_nB_n在x轴上，另外两个顶点C_n，D_n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B_n的坐标为（n，0）（n≥2，n∈N₊），记矩形A_nB_nC_nD_n的周长为a_n，则a₂+a₃+…+a₁₀=（ ）

A．208
B．212
C．216
D．220

二、填空题

13. 难度：中等

已知（a+i）i=-1-2i（a∈R，i是虚数单位），则a的值为    ．

14. 难度：中等

把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比化学先上，则不同的排法有    种．

15. 难度：中等

对于下列分布列有P（|ξ|=2）=    ．

ξ	-2		2
P	a		c

16. 难度：中等

在（x+1）（x-1）⁶展开式中x⁵的系数是    ．

17. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义f′（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f′（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”，可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题：
①任意三次函数都关于点（-，f（-））对称：
②存在三次函数f′（x）=0有实数解x，点（x，f（x））为麵y=f（x）的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
④若函数g（x）=x³-x²-，则，g（）+g（）+g（）+…+g（）=-105.5．
其中正确命题的序号为    （把所有正确命题的序号都填上）．

三、解答题

18. 难度：中等

若（-）ⁿ的展开式的二项式系数和为128．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中的常数项；
（Ⅲ）求展开式中二项式系数的最大项．

19. 难度：中等

已知数列ξ中，a₁=0，a_n+1=（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明．

20. 难度：中等

3个同学分别从a，b，c，d四门校本课程中任选其中一门，每个同学选哪一门互不影响；
（I）求3个同学选择3门不同课程的概率；
（II）求恰有2门课程没有被选择的概率；
（Ⅲ）求选择课程a的同学个数的分布列及数学期望．

21. 难度：中等

某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在（495，510]的产品为合格品，否则为不合格品．图1是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表．

产品重量（克）	频数
（490，495）	6
（495，500）	8
（500，505）	14
（505，510）	8
（510，515）	4

表1：（乙流水线样本频数分布表）
（1）求从甲流水线上任取一件产品为合格品的频率；
（2）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品（看作有放回的抽样），求其中合格品的件数X的数学期望及其方差；
（3）从乙流水线样本的不合格品中任意取2件，求其中超过合格品重量的件数Y的分布列及期望．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（I）求实数b、c的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴．若存在请证明，若不存在说明理由．