2013-2014学年广东省揭阳一中高三（上）开学数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，1}，B={x|ax+2=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（ ）
A．{-2}
B．{2}
C．{-2，2}
D．{-2，0，2}

2. 难度：中等

设z是复数，a（z）表示zⁿ=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a（i）=（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2

3. 难度：中等

如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

”m＞n＞0”是”方程mx²+ny²=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log₉f（3）的值为（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

7. 难度：中等

已知函数y=sinx-cosx，则下列结论正确的是（ ）
A．此函数的图象关于直线x=对称
B．此函数在区间（-，）上是增函数
C．此函数的最大值为1
D．此函数的最小正周期为π

8. 难度：中等

若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．[，1]
B．[，1]
C．[，]
D．[，2]

二、填空题

9. 难度：中等

函数y=+的定义域是    ．

10. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是    ．

11. 难度：中等

若（-）ⁿ展开式中所有二项式系数之和为16，则展开式常数项为    ．

12. 难度：中等

若双曲线=1的渐近线与方程为（x-2）²+y²=3的圆相切，则此双曲线的离心率为     ．

13. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅若存在两项a_m、a_n使得，则的最小值为    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲）
已知AB是圆O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交点O于点C，若AP=6，PB=3，则PC的长为    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（2，），（4，）．则△ABO（其中O为极点）的面积为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量=（Asin，Acos），=（cos，sin）函数f（x）=•（A＞0，x∈R），且f（2π）=2．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设α，β∈[0，]，f（3α+π）=，f（3β+）=-，求cos（α+β）的值．

17. 难度：中等

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

一次性购物量	1至4件	5 至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）	x	30	25	y	10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）

18. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁=1-a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=＜1．

20. 难度：中等

已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为，圆C与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求圆C的标准方程
（2）若点P的坐标为（4，4），试探究斜率为k的直线PF₁与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF₁的方程；若不能，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（2ax+1）+-x²-2ax（a∈R）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=-时，方程f（1-x）=有实根，求实数b的最大值．