2012-2013学年江苏省盐城中学高三（下）开学数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合M={x|x²-2x-3＜0}，N={x|2x-2＞0}，则M∩N等于    ．

2. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于第    象限．

3. 难度：中等

某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是    ．

4. 难度：中等

已知正六棱锥P-ABCDEF的底面边长为1cm，侧面积为3cm²，则该棱锥的体积为    cm³．

5. 难度：中等

已知两条直线y=ax-2和3x-（a+2）y+1=1互相平行，则a等于    ．

6. 难度：中等

执行上面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是    ．

7. 难度：中等

已知与的夹角为120°，=1，=3，则=    ．

8. 难度：中等

如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为（1，），那么曲线y=f（x）任一点处的切线的倾斜角a的取值范围是    ．

9. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n且满足S₁₅＞0，S₁₆＜0则中最大的项为    ．

10. 难度：中等

一同学为研究函数f（x）=+（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点，设CP=x，则AP+PF=f（x），请你参考这些信息，推知函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数是    ．

11. 难度：中等

如图，F₁，F₂是双曲线C：的左右焦点，过F₁的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF₂为等边三角形，则双曲线的离心率为    ．

12. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，那么y=f（x）叫做对称函数，现有f（x）=-k是对称函数，那么k的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为    ．

14. 难度：中等

AB为单位圆上的弦，P为单位圆上的动点，设，若M的最大值M_max满足M_max≥，则的取值范围为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面ADC₁B₁⊥平面A₁BE；
（Ⅱ）在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥平面A₁BE？证明你的结论．

16. 难度：中等

已知向量=（sinx，），=（cosx，-1）．
（1）当时，求cos²x-sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（）-，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求 f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．

17. 难度：中等

某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工2m人（60＜m＜500，且m为10的整数倍），每人每年可创利100千元．据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．问：为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

18. 难度：中等

已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F₁，F₂，点P是椭圆上一点，，且△PF₁F₂的三边构成公差为1的等差数列．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若，求椭圆方程；
（Ⅲ） 若c=1，点P在第一象限，且△PF₁F₂的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点P的坐标﹒

19. 难度：中等

设f_k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n．对于任意的正整数n，a_n+S_n=f_k（n）都成立．
（I）若k=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a_n}能成等差数列．

20. 难度：中等

已知函数，．
（1）若a=2，求f（x）=f₁（x）+f₂（x）在x∈[2，3]上的最小值；
（2）若x∈[a，+∞）时，f₂（x）≥f₁（x），求a的取值范围；
（3）求函数在x∈[1，6]上的最小值．

21. 难度：中等

（选修4-1：几何证明选讲）
如图，已知两圆交于A，B两点，过点A，B的直线分别与两圆交于P，Q和M，N，求证：PM∥QN．

22. 难度：中等

（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A的逆矩阵A^-1=，求矩阵A．

23. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xoy中，过椭圆在第一象限内的一点P（x，y）分别作x轴、y轴的两条垂线，垂足分别为M，N，求矩形PMON周长最大值时点P的坐标．

24. 难度：中等

（选修4-5：不等式选讲）
已知关于x的不等式|x-a|+1-x＞0的解集为R，（1）求实数a的取值范围．（2）证明：若x-1＜0，则a∈R．

25. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，D₁D=2，点P在棱CC₁上，且．
（1）求PC的长；
（2）求钝二面角A-A₁B-P的大小．

26. 难度：中等

某品牌设计了编号依次为1，2，3，…，n（n≥4，且n∈N^*）的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j（0≤i，j≤n，且i，j∈N）种款式用来拍摄广告．
（1）若i=j=2，且甲在1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n-2）号中选择，乙在（m+1）到n号中选择．记P_st（1≤s≤m，m+1≤t≤n）为款式（编号）s和t同时被选中的概率，求所有的P_st的和；
（2）求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．