2012-2013学年重庆一中高三（下）5月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集I=R，集合A={y|y=x²-2}．B={x|y=log₂（3-x）}，则C_IA∩B等于（ ）
A．{x|-2≤x＜3}
B．{x|x≤-2}
C．{x|x＜3}
D．{x|x＜-2}

2. 难度：中等

向量，且∥，则锐角α的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

的展开式中的常数项是（ ）
A．-15
B．15
C．-30
D．30

4. 难度：中等

在等差数列{a_n}中每一项均不为0，若a₁+a₂+…+a₂₀₁₃=ta₁₀₀₇，则t=（ ）
A．2011
B．2012
C．2013
D．2014

5. 难度：中等

采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15

6. 难度：中等

在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形

7. 难度：中等

若函数f（x）的导数为f′（x）=-x（x+1），则函数f（log_ax）（0＜a＜1）的单调减区间为（ ）
A．[-1，0]
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

9. 难度：中等

已知正数x，y，z满足x²+y²+z²=1，则的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．

10. 难度：中等

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0），作倾斜角为的直线FE交该双曲线右支于点P，若=（+），且•=0则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．+1
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在复平面内，复数（a∈R）对应的点位于虚轴上，则a=    ．

12. 难度：中等

某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是    ．

13. 难度：中等

用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有    种．

1	2	3
4	5	6
7	8	9

14. 难度：中等

AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DC=2，BC=1，则sin∠DCA=    ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（3，），（4，），则△AOB（其中O为极点）的面积为    ．

16. 难度：中等

若不等式|x+1|+|x-m|＜6的解集为空集，则实数m的取值范围为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量=（sin（ωx+φ），2），=（1，cos（ωx+φ）），ω＞0，0＜φ＜．函数f（x）=（+）•（-），若y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1，且过点M（1，）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）当-1≤x≤1时，求函数f（x）的单调区间．

18. 难度：中等

设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局．在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束．
（1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；
（2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望Eξ．

19. 难度：中等

已知函数，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积；
（Ⅱ）若函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e⁵，求a的值．

20. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，△ABC为正三角形，AD=AB=2，BD=2，AC与BD交于O点．将△ABC沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD内的射影落在△ABC内．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若时，求二面角A-PB-D的余弦值．

21. 难度：中等

中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且经过点Q（1，）．若分别过椭圆的左右焦点F₁，F₂的动直线l₁、l₂相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k₁、k₂、k₃、k₄满足k₁+k₂=k₃+k₄． 
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知各项均为正数的数列{a_n}满足：．
（1）求a_n的通项公式；
（2）当n≥2时，求证：．