2012-2013学年广东省东莞市南城中学高三（下）开学数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={x|x是小于9的正整数}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4，5，6}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．{3}
B．{4，5，6，7，8}
C．{7，8}
D．{1，2，7，8}

2. 难度：中等

函数f（x）=e^x+x-4（e≈2.71828…）的零点所在的一个区间是（ ）
A．（-2，-1）
B．（-1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₇+a₉=16，a₄=1，则a₁₂的值是（ ）
A．15
B．30
C．31
D．64

4. 难度：中等

执行如图的程序框图，那么输出S的值是（ ）

A．-1
B．
C．2
D．1

5. 难度：中等

某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）

A．0.67（小时）
B．0.97（小时）
C．1.07（小时）
D．1.57（小时）

6. 难度：中等

如图，在△ABC中，已知，则=（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

将函数y=2sinx图象上的所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到图象C₁，再将图象C₁沿x轴向左平移个单位，得到图象C₂，则图象C₂的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx²+ny²=1的曲线是椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设A₁，A₂，A₃，A₄是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且，则称A₃，A₄调和分割A₁，A₂，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（ ）
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上

二、填空题

11. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数=    ．

12. 难度：中等

已知椭圆的方程是（a＞5），它的两个焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=8，弦AB（椭圆上任意两点的线段）过点F₁，则△ABF₂的周长为    ．

13. 难度：中等

已知实数x，y满足，则z=2x-3y的最大值是    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
在直角坐标xOy中，曲线C₁的参数方程为（t为参数），曲线C₂的参数方程为（α为参数），则曲线C₁与C₂的交点个数为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）已知圆O割线PAB交圆O于A，B（PA＜PB）两点，割线PCD经过圆心O（PC＜PD），已知PA=6，AB=7，PO=10；则圆O的半径是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知数列{a_n}是一个等差数列，且a₂=1，a₅=-5．
（I）求{a_n}的通项a_n；
（II）设，，求T=log₂b₁+log₂b₂+log₂b₃+…+log₂b_n的值．

17. 难度：中等

已知椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，经过点A（0，1），离心率．求椭圆C的方程．

18. 难度：中等

已知向量，，函数（x∈R）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设，，，求cos（α+β）的值．

19. 难度：中等

2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年．为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如图所示：
（1）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？
（2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？
（3）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有1名驾驶人员是广西籍的概率．

20. 难度：中等

如图，在三棱锥V-ABC中，VA⊥平面ABC，∠ABC=90°，且AC=2BC=2VA=4．
（1）求证：平面VBA⊥平面VBC；
（2）求：V_V-ABC．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax²+x）e^x在[-1，1]上是单调增函数，其中e是自然对数的底数，求a的取值范围．