2013-2014学年广东省汕头市金山中学高三（上）开学摸底数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x＜-1或x＞4}，那么集合A∩（∁_UB）等于（ ）
A．[-1，3]
B．{x|x≤3或x≥4}
C．[-2，-1）
D．[-2，4）

2. 难度：中等

抛物线y²=8x的焦点到准线的距离是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

3. 难度：中等

若（i表示虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

已知向量，，且，则实数x的值为（ ）
A．
B．-2
C．2
D．

5. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（ ）
A．3
B．1
C．-5
D．-6

6. 难度：中等

在区间[0，1]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图（或称正视图）为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（ ）

A．105
B．16
C．15
D．1

9. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）满足f（-x）=f（2+x），且在[-1，0]上单调递增，设a=f（3），，c=f（2），则a，b，c大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a

10. 难度：中等

集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x-1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

二、填空题

11. 难度：中等

400辆汽车通过某一段公路时的速度如图所示，则速度在[50，70）的汽车大约有    辆．（注：本题中速度的单位为km/h）

12. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且成等差数列，则=    ．

13. 难度：中等

已知函数的定义域为（1，+∞），则实数a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC长为    ．

15. 难度：中等

极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数，x∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）设，，，求cos（α+β）的值．

17. 难度：中等

已知命题p：（x+1）（x-5）≤0，命题q：1-m≤x≤1+m（m＞0）．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}中，（n∈N^*）．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，数列{b_nb_n+2}的前n项和T_n，求证：．

19. 难度：中等

如图，已知DE⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，且F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面 BCE；
（2）求证：平面 BCE⊥平面 CDE．
（3）求V_C-ABF：V_C-ABED的值．

20. 难度：中等

如图，设点F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l₁：y=kx+m，l₂：y=kx+n，若l₁、l₂均与椭圆C相切，证明：m+n=0；
（3）在（2）的条件下，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l₁，l₂的距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=的图象过点（-1，2），且在点（-1，f（-1））处的切线与直线x-5y+1=0垂直．
（1）求实数b，c的值；
（2）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（3）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？