2012-2013学年浙江省嘉兴一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知e是自然对数的底数，则（e³）′=（ ）
A．0
B．e²
C．2e²
D．e³

2. 难度：中等

曲线y=x³-2x+4在点（1，3）处切线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件

4. 难度：中等

观察（x³）′=3x²，（x⁵）′=5x⁴，（sinx）′=cosx，由归纳推理得：若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（-x）=（ ）
A．f（x）
B．-f（x）
C．g（x）
D．-g（x）

5. 难度：中等

若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x³-ax²-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9

6. 难度：中等

若f（x）=x²-2x-4lnx，则f（x）的单调递增区间为（ ）
A．（0，+∞）
B．（-1，0）和 （2，+∞）
C．（2，+∞）
D．（-1，0）

7. 难度：中等

函数的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设点P在曲线y=x上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A．f（x）=sinx+cos
B．f（x）=lnx-2
C．f（x）=-x³+2x-1
D．f（x）=-xe^-x

10. 难度：中等

设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A．成正比，比例系数为C
B．成正比，比例系数为2C
C．成反比，比例系数为C
D．成反比，比例系数为2C

二、填空题

11. 难度：中等

观察下列等式：1³+2³=3²，1³+2³+3³=6²，1³+2³+3³+4³=10²，…，根据上述规律，第五个等式为     ．

12. 难度：中等

函数y=e^x的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为a_k+1，其中k∈N^*，a₁=0，则a₁+a₂+a₃=    ．

13. 难度：中等

若函数f（x）=e^x-2x-a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=（x＞0），观察：
 f₁（x）=f（x）=，
 f₂（x）=f（f₁（x））=，
 f₃（x）=f（f₂（x））=，
 f₄（x）=f（f₃（x））=，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N^*且n≥2时，f_n（x）=f（f_n-1（x））=    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）满足，则f（x）的极值点为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d在区间[-1，2]上是减函数，那么b+c有最大值    ．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e^x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

若对于正整数k，g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（10）=5．设S_n=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2ⁿ）．
（Ⅰ）求g（6），g（20）的值；
（Ⅱ）求3S₁-2，3S₂-2，3S₃-2的值；并由此猜想{S_n}的通项公式（不必证明）

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2x³-ax²+6bx在x=-1处有极大值7．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求f（x）在x=1处的切线方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范围．

21. 难度：中等

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；
（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x+xlnx．
（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；
（2）若k∈z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m≥4时，证明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．