2013-2014学年贵州省黔东南州凯里一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|（x-1）²＜4，x∈R}，N={x|-2＜x≤3，x∈Z}，则M∩N=（ ）
A．{0，1，2}
B．{-1，0，1，2}
C．{-1，0，2，3}
D．{0，1，2，3}

2. 难度：中等

已知实数a，b满足z==a+bi，则过坐标原点和点A（a，b）的直线l的斜率为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

3. 难度：中等

函数的最小值（ ）
A．-2
B．2
C．
D．

4. 难度：中等

已知两个正数a，b（a＞b）的等差中项为5，等比中项为4，则椭圆的离心率e等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

条件p：x＞1，y＞1，条件q：x+y＞2，xy＞1，则条件p是条件q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件

6. 难度：中等

在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2-x）．若f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）
（ ）
A．在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D．在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

7. 难度：中等

某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是（ ）

A．
B．
C．
D．2

8. 难度：中等

实数x，y满足约束条件则z=的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．-3

9. 难度：中等

如图程序运行后输出的结果为（ ）

A．14
B．17
C．20
D．26

10. 难度：中等

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长相等，则AB₁与侧面ACC₁A₁所成角的正弦等于（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

若，且，则向量与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

12. 难度：中等

已知点P在圆C：x²+（y-3）²=1上，点Q在=1的右支上，F是双曲线的左焦点，则|PQ|+|QF|的最小值（ ）
A．2+1
B．3+2
C．4+2
D．5+2

二、填空题

13. 难度：中等

在（）⁶的二项展开式中，常数项为    ．

14. 难度：中等

求由曲线y=x²与y=2-x²所围成图形的面积为    ．

15. 难度：中等

已知实数x，y可以在0＜x＜2.0＜y＜2的条件下随机的取值，那么取出的数对满足（x-1）²+（y-1）²＜1的概率是    ．

16. 难度：中等

若实数a，b满足a²+b²=1且c＜a+b，恒成立，则c的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设b_n=（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

第30届奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．将这20名志愿者的身高如下茎叶图（单位：cm）：
若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
（Ⅰ）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，如果从这5人中随机选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中随机选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

19. 难度：中等

如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）设函数g（x）=，证明：当x＞0时，函数f（x）的图象总在函数g（x）图象的下方．

21. 难度：中等

已知抛物线C的方程为y²=2x，焦点为F，
（1）若C的准线与x轴的交点为D，过D的直线l与C交于A，B两点，且||=2||，求直线l的斜率；
（2）设点P是C上的动点，点R，N在y轴上，圆M：（x-1）²+y²=1内切于△PRN，求△PRN面积的最小值．

22. 难度：中等

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（-2，-4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．
（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；    
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．