2013-2014学年浙江省杭州市富阳市场口中学高三（上）8月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4，5，6}，集合M={1，3}，N={2，3，4}，则（∁_UM）∩（∁_UN）=（ ）
A．{3}
B．{4，6}
C．{5，6}
D．{3，6}

2. 难度：中等

设向量=（，sinα），=（cosα，），且∥，，则锐角α为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°

3. 难度：中等

若函数f（x）=sinax+cosax（a＞0）的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为（ ）
A．（-，0）
B．（-，0）
C．（，0）
D．（0，0）

4. 难度：中等

幂函数f（x）=xⁿ（n=1，2，3，，-1）具有如下性质：f²（1）+f²（-1）=2[f（1）+f（-1）-1]，则函数f（x）（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数

5. 难度：中等

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，a=4，b=4，则B=（ ）
A．45°或135°
B．135°
C．45°
D．以上都不对

6. 难度：中等

已知命题：p：“∀x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q：“∃x∈R，x²+2ax+2-a=0”，若命题“￢p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤-1或a=1
B．a≤-1或1≤a≤2
C．a≥1
D．a＞1

7. 难度：中等

已知函数f（x）=asinx+acosx（a＜0）的定义域为[0，π]，最大值为4，则a的值为（ ）
A．-
B．-2
C．-
D．-4

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx+1有两个极值点x₁、x₂，且x₁∈[-2，-1]，x₂∈[1，2]，则f（-1）的取值范围是（ ）
A．，3]
B．，6]
C．[3，12]
D．，12]

9. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足（x-1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x₁-1|＜|x₂-1|时，有（ ）
A．f（2-x₁）≥f（2-x₂）
B．f（2-x₁）=f（2-x₂）
C．f（2-x₁）＜f（2-x₂）
D．f（2-x₁）≤f（2-x₂）

10. 难度：中等

有下列命题：
①函数y=cos（x-）cos（x+）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y=的图象关于点（-1，1）对称；
③关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，则实数a=-1；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则非p：存在x∈R，使得sinx＞1．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．②③④
D．①②④

二、填空题

11. 难度：中等

已知全集I=R，若函数f（x）=x²-3x+2，集合M={x|f（x）≤0}，N={x|f′（x）＜0}，则M∩∁_IN=    ．

12. 难度：中等

设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x），则=    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，cos²=（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为    ．

14. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于    ．

15. 难度：中等

已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=mx²+lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；
（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．

19. 难度：中等

一只口袋中装有8个乒乓球，其中4个是旧球．现进行两轮摸球活动，每轮随机地从这8个球中摸取2个，第一轮结束后将所摸的球（看成旧球）重新放回口袋，拌匀后再进行第二轮摸球．
（1）设第一轮摸到新球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（2）求第二轮恰好摸到一个新球的概率．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面ACM；
（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

21. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+ax²+bx
（1）若曲线y=f（x），在点（1，f（1））处的切线与圆x²+y²=1相切，求b取值范围；
（2）若2a+b+1=0，讨论函数的单调性；
（3）证明：2+++…＞1n（n+1）（n∈N^*）