2012-2013学年浙江省湖州市菱湖中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么前102个圆中，白色的圆的个数应为（ ）
A．60
B．61
C．62
D．63

2. 难度：中等

已知f′（x）=a，则的值为（ ）
A．-2a
B．2a
C．a
D．-a

3. 难度：中等

函数y=-x³+3x+2（ ）
A．极小值0，极大值2
B．极小值-1，极大值4
C．极小值0，极大值4
D．极小值-1，极大值3

4. 难度：中等

否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（ ）
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c中至少有两个偶数
C．a，b，c都是偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

5. 难度：中等

设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

（文）若点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若函数y=f（x）在R上可导且满足不等式xf′（x）＞-f（x）恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．af（b）＞bf（a）
B．af（a）＞bf（b）
C．af（a）＜bf（b）
D．af（b）＜bf（a）

二、填空题

9. 难度：中等

已知函数y=x³-3x，则它的单调递增区间是    ．

10. 难度：中等

如果质点A按规律S=2t³运动，则在t=3s时的瞬时速度为    ．

11. 难度：中等

函数y=cos（2x²+x）的导数是    ．

12. 难度：中等

用数学归纳法证明不等式++…+＞的过程中，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是    ．

13. 难度：中等

观察下列等式：
1=1                         1³=1
1+2=3                       1³+2³=9
1+2+3=6                     1³+2³+3³=36
1+2+3+4=10                  1³+2³+3³+4³=100
1+2+3+4+5=15                1³+2³+3³+4³+5³=225
…
可以推测：1³+2³+3³+…+n³=    ．（n∈N^*，用含有n的代数式表示）

14. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）猜想通项公式a_n．

16. 难度：中等

已知曲线C：，
（1）求曲线在点（2，4）处的切线方程；
（2）求过点（2，4）的切线方程．

17. 难度：中等

已知在函数f（x）=-x³+ax²+bx+c图象上的点P（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1．
（1）若函数f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，若f（x）=k在区间[-3，1]上有两个不同的解，求实数k的取值范围；
（3）函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．

四、填空题

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x-ln（x+1）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）求证：＞n+1，（n∈N^*）．