2013-2014学年广东省珠海市高三（上）开学摸底数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|x＞1}，B={x|x（x-2）＜0}，则A∩B等于（ ）
A．{x|x＞2}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|0＜＜1}

2. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ）
A．y=x^-1
B．y=log₂
C．y=|x|
D．y=-x²

3. 难度：中等

设i为虚数单位，则复数等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

sin480°的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（ ）
A．
B．2π
C．3π
D．4π

7. 难度：中等

经过圆x²-2x+y²=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是（ ）
A．x+2y-1=0
B．x+2y-2=0
C．x+2y+1=0
D．x+2y+2=0

8. 难度：中等

已知实数x，y满足，则目标函数z=2x-y的最大值为（ ）
A．-3
B．
C．5
D．6

9. 难度：中等

如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则=（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义若A={1，2}，B={x|（x²+ax）（x²+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）=（ ）
A．4
B．1
C．2
D．3

二、填空题

11. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比q=2，前n项和为S_n，则=    ．

12. 难度：中等

直线y=-x+b是函数f（x）=的切线，则实数b=    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，，AB=2，且△ABC的面积为，则边BC的长为    ．

14. 难度：中等

如图，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心，已知PA=6，，PO=12，则⊙O的半径为    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系（ρ，θ）中，直线（ρ∈R）被圆ρ=2sinθ截得的弦的长是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx，x∈R．
（1）求的值；  
（2）若，且，求．

17. 难度：中等

为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）

高校	相关人数	抽取人数
A	18	x
B	36	2
C	54	y

（1）求x，y；
（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率．

18. 难度：中等

如图1，在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合于点B，构成一个三棱锥（如图2）．
（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给予证明；
（2）证明：平面ABE⊥平面BEF；
（3）求多面体E-AFNM的体积．

19. 难度：中等

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求a₁；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_n=，求证：对任意正整n，总有T_n＜2．

20. 难度：中等

已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：x+2y-12=0的距离最小．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f'（1）=0，且f'（x）≥0在R上恒成立．
（1）求a，c，d的值；
（2）若，解不等式f'（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f'（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．