2012-2013学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（1-i）²的值是（ ）
A．2i
B．-2i
C．2
D．-2

2. 难度：中等

某质点按规律s（t）=t²+3（s单位：m，t单位：s）作变速直线运动，则该质点在t=1时的瞬时速度为（ ）
A．2m/s
B．3m/s
C．4m/s
D．5m/s

3. 难度：中等

如图所示，图中有5组数据，去掉某组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最强（ ）

A．E
B．C
C．D
D．A

4. 难度：中等

复数z=a+bi（a，b∈R）的虚部记作Im（z），则Im=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度

6. 难度：中等

函数y=e^x-ex的单调递增区间（ ）
A．（-∞，0）
B．（-∞，1）
C．（0，+∞）
D．（1，+∞）

7. 难度：中等

在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的R²如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1的R²为0.975
B．模型2的R²为0.79
C．模型3的R²为0.55
D．模型4的R²为0.25

8. 难度：中等

下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
B．两条直线平行同旁内角互补，若A和B是两条平行线的同旁内角，则A+B=180°
C．某校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．在数列{a_n}中，a₁=1，，由此归纳出{a_n}的通项公式

9. 难度：中等

方程x³-6x²+9x-10=0的实根个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

10. 难度：中等

已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（ ）
A．e²⁰¹³f（-2013）＜f（0），f（2013）＜e²⁰¹³f（0）
B．e²⁰¹³f（-2013）＜f（0），f（2013）＞e²⁰¹³f（0）
C．e²⁰¹³f（-2013）＞f（0），f（2013）＜e²⁰¹³f（0）
D．e²⁰¹³f（-2013）＞f（0），f（2013）＞e²⁰¹³f（0）

11. 难度：中等

复数与在复平面上所对应的向量分别是，，O为原点，则这两个向量的夹角∠AOB=（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

己知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（-5）=-1，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．若正数a满足f（2a+1）＜1，则的取值范围是（ ）

A．（-2，0）
B．（-∞，）
C．（-，+∞）
D．（-，0）

二、填空题

13. 难度：中等

若（x+y）+（y-1）i=2+i（x，y∈R），则x-y=    ．

14. 难度：中等

已知x与y之间的一组数据：

x		1	2	3
y	1	3	5	7

则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点    ．

15. 难度：中等

读下面的流程图，若输入的值为-7时，输出的结果是   

16. 难度：中等

“无字证明”（proofs without words），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列的前n项和为S_n．
（Ⅰ）计算S₁，S₂，S₃，S₄；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）所得到的计算结果，猜想S_n的表达式，不必证明．

18. 难度：中等

某校的研究性学习小组为了研究高中学生的身体发育状况，在该校随机抽出120名17至18周岁的男生，其中偏重的有60人，不偏重的也有60人．在偏重的60人中偏高的有40人，不偏高的有20人；在不偏重的60人中偏高和不偏高人数各占一半
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表：

	偏重	不偏重	合计
偏高
不偏高
合计

（2）请问该校17至18周岁的男生身高与体重是否有关？

19. 难度：中等

已知复数z=（m²-m-6）+（m²-2m-15）i，m∈R
（1）当m=3时，求|z|；
（2）当m为何值时，z为纯虚数；
（3）若复数z在复平面上所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

观察下列两个结论：
（Ⅰ）若a，b∈R⁺，且a+b=1，则；
（Ⅱ）若a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，则；先证明结论（Ⅱ），再类比（Ⅰ）（Ⅱ）结论，请你写出一个关于n个正数a₁，a₂，a₃，…，a_n的结论？（写出结论，不必证明．）

21. 难度：中等

某地西红柿上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨势态，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f（x）=a•b^x，②f（x）=ax²+bx+1，③f（x）=x（x-b）²+a，（以上三式中a，b均是不为零的常数，且b＞1）
（1）为了准确研究其价格走势，应选择哪种价格模拟函数，为什么？
（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所选函数f（x）的解析式（注：函数的定义域是[0，5]）．其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，…，以此类推；为保证该地的经济收益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该西红柿将在哪几个月份内价格下跌．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-，
（1）若a=0时，直线y=x+b为函数y=f（x）的一条切线，求实数b的值；
（2）是否存在实数a，使f（x）在[1，e]上的最小值为，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．