2013-2014学年广东省佛山市南海区高三（上）入学摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|x＞1}，B={x|x（x-2）＜0}，则A∩B等于（ ）
A．{x|x＞2}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|0＜＜1}

2. 难度：中等

已知a是实数，是纯虚数，则a等于（ ）
A．-1
B．1
C．
D．

3. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，若a₃=6，S₃=12，则公差d等于（ ）
A．1
B．
C．2
D．3

4. 难度：中等

用反证法证明：若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数
D．假设a、b、c至多有两个偶数

5. 难度：中等

若，是两个非零向量，则“|+|=|-|”是“⊥”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

（-）¹⁰的展开式中含x的正整数指数幂的项数共有（ ）
A．6
B．4
C．2
D．0

7. 难度：中等

已知抛物线y²=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32

8. 难度：中等

给出下列命题：
①在区间（0，+∞）上，函数y=x^-1，，y=（x-1）²，y=x³中有三个是增函数；
②若log_m3＜log_n3＜0，则0＜n＜m＜1；
③若函数f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
④已知函数则方程 有2个实数根，
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

9. 难度：中等

若，且tanα＞0，则cosα=    ．

10. 难度：中等

已知圆C：x²+y²-6x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=    ．

11. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为    ．

12. 难度：中等

如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=    ．

13. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a_m=p，a_n=q（m，n∈N^*，n-m≥1），则a_m+n=．类比上述结论，对于等比数列{b_n}（b_n＞0，n∈N^*），若b_m=r，b_n=s（n-m≥2，m，n∈N^*），则可以得到b_m+n=    ．

14. 难度：中等

如图，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心，已知PA=6，，PO=12，则⊙O的半径为    ．

15. 难度：中等

在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，直线被圆ρ=2sinθ截得的弦的长是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求f（x）的最大值．

17. 难度：中等

为了了解某班的男女生学习体育的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生作为样本，他们期末体育成绩的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
（1）若该班男女生平均分数相等，求x的值；
（2）若规定85分以上为优秀，在该10名男生中随机抽取2名，优秀的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²+4n+1，数列{b_n}的首项b₁=2，且点（b_n，b_n+1）在直线y=2x上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，连接EF，A′B．

（1）求证：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′-EF-D的余弦值．

20. 难度：中等

设P是曲线C₁上的任一点，Q是曲线C₂上的任一点，称|PQ|的最小值为曲线C₁与曲线C₂的距离．
（1）求曲线C₁：y=e^x与直线C₂：y=x-1的距离；
（2）设曲线C₁：y=e^x与直线C₃：y=x-m（m∈R，m≥0）的距离为d₁，直线C₂：y=x-1与直线C₃：y=x-m的距离为d₂，求d₁+d₂的最小值．

21. 难度：中等

已知实数组成的数组（x₁，x₂，x₃，…，x_n）满足条件：①；     ②．
（1）当n=2时，求x₁，x₂的值；
（2）当n=3时，求证：|3x₁+2x₂+x₃|≤1；
（3）设a₁≥a₂≥a₃≥…≥a_n，且a₁＞a_n（n≥2），求证：．