2013-2014学年广东省汕头市金山中学高三（上）开学摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若全集U=R，集合M={x|-x²-x+2＜0}，N={x|x-1＜0}，则如图中阴影部分表示的集合是（ ）

A．（-∞，1]
B．（1，+∞）
C．（-∞，-2）
D．（-2，1）

2. 难度：中等

如果，a，b∈R，则a等于（ ）
A．-6
B．6
C．3
D．-4

3. 难度：中等

下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A．
B．y=-log₂
C．y=3^x
D．y=x³+

4. 难度：中等

若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知a，b为异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β．直线l满足l⊥a，l⊥b，l⊄α，l⊄β，则（ ）
A．α与β相交，且交线平行于l
B．α∥β，且l∥α
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α⊥β，且l⊥β

6. 难度：中等

函数f（x）=2^x|log_0.5x|-1的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

平面直角坐标系上有两个定点A，B和动点P，如果直线PA和PB的斜率之积为定值m（m≠0），则点P的轨迹不可能是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

8. 难度：中等

设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）．若对于任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不能成立的是（ ）
A．（a*b）*a=a
B．[a*（b*a）]*（a*b）=a
C．b*（b*b）=b
D．（a*b）*[b*（a*b）]=b

二、填空题

9. 难度：中等

函数y=最小正周期T为    ．

10. 难度：中等

已知f（x-1）=2x+3，f（m）=6，则m=    ．

11. 难度：中等

若函数f（x）的导函数f′（x）=x²-4x+3，则函数f（x+1）的单调减区间是     ．

12. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=2且a₄a₆=4a₇²，则a₃的值是    ．

13. 难度：中等

今有直线x+y+m=0（m＞0）与圆x²+y²=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且，则实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，已知圆ρ=4cosθ的圆心为A，点，则线段AB的长为    ．

15. 难度：中等

如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP•NP=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期为π，其图象的一条对称轴是直线．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若且，求的值．

17. 难度：中等

已知函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，且f（x）=2x²-4x
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）解不等式；

18. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2，∠ABC=120°．M、N分别为线段AB，CD的中点，连接AN，DM交于点O，将△ADM沿直线DM翻折成△A'DM，使平面A'DM⊥平面BCD，F为线段A'C的中点．
（1）求证：ON⊥平面A'DM
（2）求证：BF∥平面A'DM；
（3）直线FO与平面A'DM所成的角．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx．
（1）若函数y=f（x）在x=2处有极值-6，求y=f（x）的单调递减区间；
（2）若y=f（x）的导数f′（x）对x∈[-1，1]都有f′（x）≤2，求的范围．

20. 难度：中等

已知F₁、F₂是双曲线的两个焦点，若离心率等于的椭圆E与双曲线C的焦点相同．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如果动点P（m，n）满足|PF₁|+|PF₂|=10，曲线M的方程为：．判断直线l：mx+ny=1与曲线M的公共点的个数，并说明理由；当直线l与曲线M相交时，求直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长的最大值．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正值，a₁=1，对任意n∈N^*，a_n+1²-1=4a_n（a_n+1），b_n=log₂（a_n+1）都成立．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）当k＞7且k∈N^*时，证明对任意n∈N^*，都有成立．