2012-2013学年浙江省衢州市江山实验中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x²-2x-3≤0}，则A∩（∁_RB）=（ ）
A．（1，4）
B．（3，4）
C．（1，3）
D．（1，2）∪（3，4）

2. 难度：中等

设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

若a=2^0.5，b=log_π3，，则（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a

4. 难度：中等

下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y=ln（x+2）
B．
C．
D．

5. 难度：中等

△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos²A=a则=（ ）
A．2
B．2
C．
D．

6. 难度：中等

已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且，，==，则点O、N、P依次为△ABC的（ ）
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心

7. 难度：中等

若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

8. 难度：中等

设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（ ）
A．13
B．2
C．
D．

9. 难度：中等

函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，-l）
D．（-∞，+∞）

10. 难度：中等

已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x³-x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

二、填空题

11. 难度：中等

计算÷=    ．

12. 难度：中等

设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，-4）且⊥，∥，则|+|=    ．

13. 难度：中等

设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=x³-2x²+1在x=    处取得极小值．

15. 难度：中等

已知实数a≠0，函数，若f（1-a）=f（1+a），则a的值为    ．

16. 难度：中等

设函数f（x）=x²-1，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是    ．

17. 难度：中等

下面有五个命题：
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π．
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|．
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点．
④把函数的图象向右平移得到y=3sin2x的图象
⑤函数在（0，π）上是减函数
其中真命题的序号是    （（写出所有真命题的编号））

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．
（I）求sinC的值；
（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

19. 难度：中等

已知△ABC的面积S满足，的夹角为θ．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最大值．

20. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D为AB的中点．
（Ⅰ）求证AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

21. 难度：中等

设
（1）若f（x）在上存在单调递增区间，求a的取值范围．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为，求f（x）在该区间上的最大值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．