2005-2006学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={-2，-1，0，1，2}，A={-2，-1，0}，B={0，1，2}，则（∁_UA）∩B=（ ）
A．{0}
B．{-2，-1}
C．{1，2}
D．{0，1，2}

2. 难度：中等

不等式|x-2|≥|x|的解集是（ ）
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥1}
C．{x|x≤0或x≥2}
D．{x|0≤x≤2}

3. 难度：中等

在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知函数f（x）=3^x-1，f（x）的反函数为y=f^-1（x），当y≥0时，y=f^-1（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在下列向量中，与向量=（1，-平行的单位向量是（ ）
A．（1，-
B．（，1）
C．（）
D．（-）

6. 难度：中等

下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁+a₂+…+a₅₀=200，a₅₁+a₅₂+…+a₁₀₀=2700，则a₁等于（ ）
A．-1221
B．-21.5
C．-20.5
D．-20

8. 难度：中等

过双曲线＞0，b＞0）的左焦点F₁的直线y=（x+c）与双曲线的右支交于点P，若sin∠F₁OP=（O为坐标原点），则双曲线的离心率是（ ）
A．
B．5
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

tan30°的值是    ．

10. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₃+a₅=18，a₉+a₁₁=144，则a₅+a₈=    ．

11. 难度：中等

若函数f（x）=是奇函数，则函数g（x）的解析式是    ．

12. 难度：中等

在（x²+4x+4）⁵的展开式中，x⁸的二项式系数是    ；x⁸的系数是    ．（用数字作答）

13. 难度：中等

圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y²=2x的准线和双曲线=1的渐近线都相切，则圆心的坐标是    ．

14. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），又设g₁（x）=f（x+3），g₂（x）=f（3-x），给出下列四个命题：
①f（x）的图象关于直线x=1对称，g₁（x）的图象与g₂（x）的图象关于直线x=3对称；
②f（x）的图象关于直线x=1对称，g₁（x）的图象与g₂（x）的图象关于直线x=0对称；
③f（x）的周期为4，g₁（x）与g₂（x）的周期均为2；
④f（x）的图象关于直线x=2对称，g₁（x）的图象与g₂（x）的图象关于直线x=3对称．其中正确的命题有    （填入正确命题的序号）．

三、解答题

15. 难度：中等

已知非负实数x，y满足
（1）在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；
（2）求Z=x+3y的最大值．

16. 难度：中等

已知向量=（cos，=（cos，且x∈[-]．
（1）求•及|+|；
（2）若f（x）=•-|+|，求f（x）的最大值和最小值．

17. 难度：中等

经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：

排队人数	0-5	6-10	11-15	16-20	21-25	25人以上
概    率	0.1	0.15	0.25	0.25	0.2	0.05

（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？
（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？

18. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（I）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求f（x）的解析式；
（II）若x∈[0，1]，函数f（x）图象上的任意一点的切线斜率为k，当k≥-1恒成立时，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且，|BC|=2|AC|．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使，请给出证明．

20. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数的图象上任意两点，且，已知M的横坐标为．
（1）求证：M点的纵坐标为定值；
（2）若，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（3）已知，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，T_n＜λ（S_n+1+1），对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围．