2013-2014学年广东省佛山市南海区高三（上）入学摸底数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x＜3}，N={x|x²-6x+8＜0}，则M∩N=（ ）
A．∅
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|2＜x＜3}

2. 难度：中等

复数的实部是（ ）
A．-i
B．-1
C．1
D．i

3. 难度：中等

已知向量 =（1，m），=（m，2），若∥，则实数m等于（ ）
A．-
B．
C．-或
D．0

4. 难度：中等

已知，且，则=（ ）
A．
B．-7
C．
D．7

5. 难度：中等

设曲线y=x²+1在其任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=g（x）cosx的部分图象可以为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

一个正四棱锥的正（主）视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）

A．，8
B．，
C．，
D．8，8

7. 难度：中等

用反证法证明：若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数
D．假设a、b、c至多有两个偶数

8. 难度：中等

下列说法中正确的有（ ）
（1）命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”；
（2）“x＞2”是“x²-3x+2＞0”的充分不必要条件；
（3）若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；
（4）对于命题p：∃x∈R，x²+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x²+x+1≥0．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

9. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，若a_m=a，a_n=b（n-m≥1，m，n∈N^*），则．类比上述结论，对于等比数列{b_n}（），若b_m=c，b_n=d（n-m≥2，m，n∈N^*），则可以得到b_m+n=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设集合M和N为平面中的两个点集，若存在点A∈M、B∈N，使得对任意的点A∈M、B∈N，均有|AB|≥|AB|，则称|AB|为点集M和N的距离，记为d（M，N）=|AB|．已知集合M={（x，y）|x²+（y-2）²≤1}，N={（x，y）}，则d（M，N）=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

某公司有职员150人，中级管理 人员40人，高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，则高级管理人员应抽取    人．

12. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出的S=    ．

13. 难度：中等

如图，已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO+∠BFO=90°，则该椭圆的离心率是    ．

14. 难度：中等

（选修4-1几何证明选讲）如图所示，AB和AC分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO与圆O交于D点，则△ABD的面积是    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程是（θ是参数），若以o为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为
    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）
（1）求f（x）的最小正周期；  
（2）求f（x）的对称中心．

17. 难度：中等

某校高三有甲、乙两个班，在某次数学测试中，每班各抽取5份试卷，所抽取的平均得分相等（测试满分为100分），成绩统计用茎叶图表示如下：

甲		乙
9 8	8	4  8 9
2 1 0	9	a6

（1）求a；
（2）学校从甲班的5份试卷中任取两份作进一步分析，在抽取的两份试卷中，求至多有一份得分在[80，90]之间的概率．

18. 难度：中等

如图1，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A'，连接EF，A'B（如图2）．

（1）求证：A'D⊥EF；
（2）求点A'到平面BEDF的距离．

19. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n和1的等差中项，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=S₃．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：．

20. 难度：中等

（本题文科学生做）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F₁（-4，0），F₂（4，0），A（0，8），直线y=t（0＜t＜8）与线段AF₁、AF₂分别交于点P、Q．
（Ⅰ）当t=3时，求以F₁，F₂为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点Q作直线QR∥AF₁交F₁F₂于点R，记△PRF₁的外接圆为圆C．
①求证：圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②圆C是否恒过异于点F₁的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx（e是自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线也是抛物线y²=4（x-1）的切线，求a的值；
（2）当a=-1时，是否存在x∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x处的切线斜率与f（x） 在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x的个数；若不存在，请说明理由．