2013-2014学年浙江省温州市八校联考高三（上）9月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z满足（1-i）z=2i，则z=（ ）
A．-1+i
B．-1-i
C．1+i
D．1-i

2. 难度：中等

已知集合A={x|0＜log₄x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩∁_RB=（ ）
A．（1，2]
B．[2，4）
C．（2，4）
D．（1，4）

3. 难度：中等

下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．y=x+1
B．y=-x²
C．
D．y=x|x|

4. 难度：中等

将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知q是等比数{a_n}的公比，则q＜1”是“数列{a_n}是递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

某程序框图如图所示，则该程序运行后的输出结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（ ）
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l

8. 难度：中等

已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）
A．
B．
C．1
D．2

9. 难度：中等

设F₁，F₂是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂的最小内角为30°，则C的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．若存在a∈[-3，3]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则其体积为    ．

12. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₁=1，公差d≠0，S_n为其前n项和，若a₁，a₂，a₅成等比数列，则S₈₌    ．

13. 难度：中等

设常数a∈R，若的二项展开式中x⁷项的系数为-10，则a=    ．

14. 难度：中等

将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是    ．

15. 难度：中等

设当x=θ时，函数f（x）=sinx+2cosx取得最大值，则cosθ=    ．

16. 难度：中等

已知直线y=a交抛物线y=x²于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为    ．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若两定点A，B满足||=||==2，则点集所表示的区域的面积是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

19. 难度：中等

一个袋子里装有7个球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4；白球3个，编号分别为2，3，4．从袋子中任取4个球（假设取到任何一个球的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的4个球中，含有编号为3的球的概率；
（Ⅱ）在取出的4个球中，红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．
（1）求证：平面PAC平面BEF；
（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．

21. 难度：中等

如图，椭圆C：经过点P （1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃．问：是否存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x^-1e^x的定义域为（0，+∞）．
（1）求函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）设函数，如果x₁≠x₂，且g（x₁）=g（x₂），证明：x₁+x₂＞2．