2008-2009学年福建省泉州市南安一中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x²+1是减函数的区间为（ ）
A．（2，+∞）
B．（-∞，2）
C．（-∞，0）
D．（0，2）

2. 难度：中等

已知，则与的夹角等于（ ）
A．90°
B．30°
C．60°
D．150°

3. 难度：中等

若质点做直线运动，位移公式s（t）=3t³-2t²+t+1，则其在t=2s时的瞬时速度是（ ）
A．30
B．29
C．28
D．27

4. 难度：中等

y=x³在点P处切线的斜率为3，则点P的坐标为（ ）
A．（-2，-8）
B．（-1，-1），（1，1）
C．（2，8）
D．（1，1）

5. 难度：中等

椭圆x²+my²=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

6. 难度：中等

对空间任意一点O，，则P、A、B、C四点（ ）
A．一定不共面
B．一定共面
C．不一定共面
D．无法判断

7. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点，那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知点A（3，2），F为抛物线y²=2x的焦点，点P在抛物线上，使|PA|+|PF|取得最小值，则最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．

9. 难度：中等

若函数f（x）=x²+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x-1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为-，则此双曲线的方程是（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

11. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，C₁D₁的中点，则A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．-1＜a＜2
B．-3＜a＜6
C．a＜-3或a＞6
D．a＜-1或a＞2

13. 难度：中等

△ABC三边成等差数列且a＞c＞b，已知顶点A（-1，0），B（1，0），则顶点C的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

对于抛物线C：y²=4x，我们称满足y²＜4x的点M（x，y）在抛物线的内部．若点M（x，y）在抛物线内部，则直线l：yy=2（x+x）与曲线C （ ）
A．恰有一个公共点
B．恰有2个公共点
C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点
D．没有公共点

二、填空题

15. 难度：中等

已知，且，则x=    ．

16. 难度：中等

y=-2x²+bx+c在点（2，-1）处与直线y=x-3相切，则b+c的值为    ．

17. 难度：中等

椭圆=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是    ．

18. 难度：中等

已知f（x）=ln（ax²-1），且f′（1）=4，则 a=    ．

19. 难度：中等

已知坐标平面内两点A（3，4），B（0，-2），将坐标平面沿x轴折成的60°二面角，则A，B两点间的距离为    ．

20. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是    ．

三、解答题

21. 难度：中等

已知在x=2处取到极小值．
（1）求a，b的值； 
（2）若 对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面中，AB⊥AC，AB=AC=a，D为CC₁的中点，
（1）λ为何值时，A₁D⊥平面ABD；
（2）当A₁D⊥平面ABD时，求C₁到平面ABD的距离；
（3）当二面角A-BD-C为60°时，求λ的值．

23. 难度：中等

过抛物线y²=2x的对称轴上的定点M（m，0），（m＞0），作直线AB交抛物线于A，B两点．
（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；
（2）若△OAB的面积的最小值为4，求m的值．

24. 难度：中等

已知定义在[-3，3]上的函数 ，（t为常数）．
（1）当t∈[2，6]时，求f（x）在[-2，0]上的最小值及取得最小值时的x；
（2）当t≥6时，证明函数y=f（x）的图象上至少有一点在直线y=8上．

25. 难度：中等

已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且，|BC|=2|AC|．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使，请给出证明．