2013-2014学年湖南省株洲市醴陵二中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x²-1≤0}，N={x|，x∈Z}，则M∩N=（ ）
A．{-1，0，1}
B．{-1，0}
C．[-1，1）
D．[-1，0]

2. 难度：中等

在复平面内，复数5+4i，-1+2i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数的模是（ ）
A．13
B．
C．2
D．2

3. 难度：中等

下列说法错误的是（ ）
A．命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x²-3x+2≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件
C．幂函数图象一定不过第三象限
D．命题P：“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”，则￢p：“均有x²+x+1≥0”

4. 难度：中等

下列函数中既是偶函数，又是区间[-1，0]上的减函数的是（ ）
A．y=e^x+e^-x
B．y=-|x-1|
C．
D．y=cos

5. 难度：中等

已知函数f（x）=，则f（log₂7）=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A．
B．（4+π）
C．
D．

7. 难度：中等

设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（ ）
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直

8. 难度：中等

函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有    个．

10. 难度：中等

为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，将全校200名 教师按一学期使用多媒体进行教学的次数分成了[0，9），[10，19），[20，29），[30，39），[40，49）五层．现采用分层抽样从该校教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图，据此可知该校一学期使用多媒体进行教学的次数在[30，39）内的教师人数为    ．

11. 难度：中等

一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红球，5个黄球，10个绿球，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是    ．

12. 难度：中等

已知O为坐标原点，点M坐标为（-2，1），在平面区域上任意取一点N，则使＞0的概率为    ．

13. 难度：中等

已知命题p：∀x∈[1，2]，x²-a≥0；命题q：∃x∈R，x²+2ax+2-a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为     ．

14. 难度：中等

给定P={1，2}，N={-3，-2，-1，0，1，2，3}，设函数f：P→N，满足条件的函数有    个．

15. 难度：中等

设函数f（x）=（a＜0）的定义域为D，值域为A．
（1）若a=-1，b=2，c=3，则D=    ，A=    ；
（2）若所有点（s，t）（s∈D，t∈A）构成正方形区域，则a的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

若A={x|x²-5x+6=0}，B={x|ax-6=0}，且A∪B=A，求由实数a组成的集合C．

17. 难度：中等

已知向量=（sinx，-1），=（cosx，-），函数f（x）=（+）•-2
（1）求函数f（x）的最小正周期T及单调减区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（A）=1．求A，b和△ABC的面积．

18. 难度：中等

已知幂函数．
（1）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
（2）若该函数还经过点，求m的值并求满足条件f（2-a）＞f（a-1）的实数a的取值范围．

19. 难度：中等

如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．
（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%．记随变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Εξ；
（II）若有3人次（投入l球为l人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P（η=2）．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD中为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．