2012-2013学年浙江省湖州八中高三（下）开学数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是S_球    S_正方体（填“大于、小于或等于”）．

2. 难度：中等

集合A满足：若实数a∈A，则∈A，已知a=2∈A，则集合A中的元素个数至少有    个．

3. 难度：中等

函数y=x³+x²-5x-5的单调递增区间是   

4. 难度：中等

已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，函数f（x）=2^x，则f（）=   

5. 难度：中等

一个膨胀中的球形气球，其体积的膨胀率恒为0.3m³/s，则但其半径增至1.5m时，半径的增长率是   

6. 难度：中等

如果一个几何体的正视图、左视图、俯视图均为如图所示的面积为2的等腰直角三角形，那么该几何体的表面积等于    ．

7. 难度：中等

f（x）=ax³-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a=    ．

8. 难度：中等

已知M={x∈R|x≥2}，，则下列四个式子
①a∈M；
②{a}⊊M；
③a⊆M；
④{a}∩M=，
其中正确的是    ．（填写所有正确的序号）．

9. 难度：中等

若平面向量，满足，平行于x轴，，则=    ．

10. 难度：中等

已知x、y是正变数，a、b是正常数，且=1，x+y的最小值为    ．

11. 难度：中等

如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且过C，D两顶点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为    ．

12. 难度：中等

在极坐标系中，设P是直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4上任一点，Q是圆C：ρ²=4ρcosθ-3上任一点，则|PQ|的最小值是    ．

13. 难度：中等

已知圆x²+y²-4x-2y-6=0的圆心在直线ax+2by-2ab=0上，其中a＞0，b＞0，则ab的最小值是    ．

14. 难度：中等

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，向量=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：
（1）直线EF∥面ACD；
（2）平面EFC⊥面BCD．

16. 难度：中等

城市的空气质量以其空气质量指数API（为整数）衡量，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．根据空气质量指数API的不同，可将空气质量分级如下表：

API	0～50	51～100	101～150	151～200	201～250	251～300	＞300
状况	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	中度重污染	重度污染

为了了解某城市2011年的空气质量情况，现从该城市一年空气质量指数API的监测数据库中，用简单随机抽样方法抽取30个空气质量指数API进行分析，得到如下数据：

API分组	[41，51）	[51，61）	[61，71）	[71，81）	[81，91）	[91，101）	[101，111]
频数	2	1	4	6	10	5	2

（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并求质量指数API的中位数大小；
（Ⅱ）估计该城市一年中空气质量为优良的概率；
（Ⅲ）请你依据所给数据和上述分级标准，对该城市的空气质量给出一个简短评价．

17. 难度：中等

2008年奥运会的一套吉祥物有五个，分别命名：“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”，称“奥运福娃”．甲、乙两位小学生各有一套吉祥物，现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲将赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃．现规定掷骰子的总次数达9次时，或在此前某学生已赢得所有福娃时游戏终止，记游戏终止时投掷骰子的总次数为ξ．
（1）求掷骰子的次数为7的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望Eξ．

18. 难度：中等

若直线y=kx+2与圆（x-2）²+（y-3）²=1有两个不同的交点，求k的取值范围？

19. 难度：中等

函数f（x）=x-alnx+（a＞0）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求使函数f（x）有零点的最小正整数a的值；
（3）证明：ln（n!）-ln2＞（n∈N^*，n≥3）．

20. 难度：中等

设直线y=ax（a＜1）与抛物线y=x²所围成的图形面积为S，它们与直线x=1围成的面积为T，若U=S+T达到最小值，求a值；并求此时平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积．