2012-2013学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若命题p为真命题，则下列说法中，一定正确的是（ ）
A．p的逆命题为真命题
B．￢p为真命题
C．p的否命题为假命题
D．￢p为假命题

2. 难度：中等

双曲线的焦点坐标是（ ）
A．（-6，0），（6，0）
B．
C．（-2，0），（2，0）
D．

3. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若=，=，=，则=（ ）
A．+-
B．-+
C．-++
D．-+-

4. 难度：中等

设抛物线y²=8x焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，则|PF|等于（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2

5. 难度：中等

若焦点在x轴上的椭圆 的离心率为，则m=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB=DC=2，点E为BC的中点，若直线AE与底面BCD所成的角为45°，则三棱锥A-BCD的体积等于（ ）
A．
B．
C．2
D．

8. 难度：中等

抛物线y=2x²上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称，且x₁•x₂=-，则m等于（ ）
A．
B．2
C．
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

顶点在原点，焦点是F（0，5）的抛物线方程是    ．

10. 难度：中等

已知向量，若，则x=    ；若则x=    ．

11. 难度：中等

曲线y=x³-x+3在点（1，3）处的切线方程为    ．

12. 难度：中等

已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为    ．

13. 难度：中等

有下列命题：
①设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；
②命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M；
③若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；
④命题P：“”的否定￢P：“∀x∈R，x²-x-1≤0”
则上述命题中为真命题的有    （填序号）

14. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，M是PB的中点，则点P到平面ACM的距离为    ．

15. 难度：中等

如图，双曲线-=1（a，b＞0）的两顶点为A₁，A₂，虚轴两端点为B₁，B₂，两焦点为F₁，F₂．若以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，切点分别为A，B，C，D．则：
（Ⅰ）双曲线的离心率e=    ；
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁与矩形ABCD的面积S₂的比值=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

命题P：函数y=（a²-4a）x为减函数；命题Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根．若P和Q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知椭圆的短轴长为2，焦点坐标分别是（-1，0）和（1，0）．
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）如果直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点A，B，求m的取值范围；
（3）若（2）中m=1，求该直线与此椭圆相交所得弦长|AB|的值．

18. 难度：中等

如图所示，已知在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB=2，侧棱BB₁的长为4，E为C₁C上的点，且CE=1，
（1）求证：A₁C⊥平面BDE；
（2）求A₁B与平面BDE所成的角的正弦值．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，AC=BC=BB₁，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）求二面角B₁-AD-B的正弦值；
（3）判断在线段B₁B上是否存在一点M，使得A₁M⊥B₁D？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y²=4x相交于不同的A、B两点．
（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求的值；
（Ⅱ）如果=-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

21. 难度：中等

已知曲线C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R）
（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．