2011-2012学年北京市西城区（南区）高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，则复数i（1-i）所对应点的坐标为（ ）
A．（-1，1）
B．（1，1）
C．（1，-1）
D．（-1，-1）

2. 难度：中等

一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

极坐标ρ=2cosθ和参数方程（θ为参数）所表示的图形分别是（ ）
A．直线、圆
B．直线、椭圆
C．圆、圆
D．圆、椭圆

4. 难度：中等

已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件

5. 难度：中等

在用数学归纳法证明时，在验证当n=1时，等式左边为（ ）
A．1
B．1+a
C．1+a+a²
D．1+a+a²+a³

6. 难度：中等

（e^x+2x）dx等于（ ）
A．1
B．e-1
C．e
D．e²+1

7. 难度：中等

从1.2.3.4.5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于（ ）
A．
B．
C．
D．1

9. 难度：中等

设f（x）=sinx，f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N，则f₂₀₀₇（x）=（ ）
A．sin
B．-sin
C．cos
D．-cos

10. 难度：中等

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中a、b∈（0，1），已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

展开式中x⁶的系数是    ．

12. 难度：中等

从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有    种．

13. 难度：中等

已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为    ．

14. 难度：中等

由直线，曲线及x轴所围图形的面积为    ．

15. 难度：中等

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则x₁•x₂•x₃•…•x₂₀₁₂的值为    ．

16. 难度：中等

在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图1所标边长，由勾股定理有：c²=a²+b²．设想正方形换成正方体，把截线换成如图2所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN，如果用S₁，S₂，S₃表示三个侧面面积，S₄表示截面面积，那么你类比得到的结论是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（Ⅰ）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx-1在x=1处有极值-1．
（ I）求实数a，b的值；
（ II）求函数g（x）=ax+lnx的单调区间．

19. 难度：中等

用适当方法证明：已知：a＞0，b＞0，求证：．

20. 难度：中等

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．
（I）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．

21. 难度：中等

某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的．
（Ⅰ）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；
（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

22. 难度：中等

（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．