2012-2013学年重庆市南开中学高三（上）1月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

设集合P={3，log₂a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A．{3，0}
B．{3，0，1}
C．{3，0，2}
D．{3，0，1，2}

3. 难度：中等

若图象相邻两条对称轴之间的距离为，则w的值为（ ）
A．π
B．
C．2
D．1

4. 难度：中等

如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”
B．命题“若COSx=COSy，则x=y”的逆否命题为真命题
C．命题“∃x∈R，使得2x²-1＜0”的否定是：“∀x∈R，2x²-1＜0”
D．“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题

6. 难度：中等

设F₁、F₂分别是双曲线x²-=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•=0，则|+|=（ ）
A．
B．2
C．
D．2

7. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a_n}是等差数列，a₃＞0，则f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）的值（ ）
A．恒为正数
B．恒为负数
C．恒为0
D．可正可负

8. 难度：中等

已知实数x∈[0，4]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于23的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设函数g（x）=x²-2（x∈R），若函数y=f（x）图象与直线y=k（k为常数）有且只有一个交点，则k的取值范围是（ ）
A．[-，0]∪（8，+∞）
B．{-}∪（2，8）
C．（2，+∞）
D．[-，0]∪（2，+∞）

10. 难度：中等

已知a＞0，过M（a，0）任作一条直线交抛物线y²=2px（p＞0）于P，Q两点，若为定值，则a=（ ）
A．
B．2p
C．
D．p

二、填空题

11. 难度：中等

已知=（2，sinθ），=（1，-cosθ），若，则tan2θ的值是    ．

12. 难度：中等

若椭圆的一个顶点是圆x²+y²-10x+21=0的圆心，且短轴长为圆的直径，则该椭圆的离心率为    ．

13. 难度：中等

已知向量=（x-z，1），=（2，y+z），且，若变量x，y满足约束条件，则z的最大值为    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}满足：，且a₂=1，若数列的前2012项之和为2013，则前2013项的和等于    ．

15. 难度：中等

若a，b均为正实数，且恒成立，则m的最小值是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知数列{log₂（a_n-1）}n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₃=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+＜1．

17. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a，b，c，∠BAC=θ，b²+c²=32，a=4．
（1）求b•c的最大值及θ的取值范围；
（2）求函数的最值．

18. 难度：中等

某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（Ⅰ）求全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的人数；并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．

19. 难度：中等

在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点．
（1）求证：OD∥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

20. 难度：中等

已知函数，g（x）=alnx+a．
（1）a=1时，求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若x＞1时，函数y=f（x）的图象总在函数y=g（x）的图象的上方，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

如图，抛物线的焦点到准线的距离与椭圆的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A，C₁，C₂在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为
（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）过点A作直线l交C₁于C，D两点，射线OC，OD分别交C₂于E，F两点．
（I）求证：O点在以EF为直径的圆的内部；
（II）记△OEF，△OCD的面积分别为S₁，S₂，问是否存在直线l，使得S₂=3S₁？请说明理由．