2012-2013学年广东省佛山一中高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，4，6}，B={4，5，7}，则（C_UA）∩（C_UB）等于（ ）
A．{2，3，4，8}
B．{2，3，8}
C．{2，4，8}
D．{3，4，8}

2. 难度：中等

复数z=（a∈R，i为虚数单位），若z是纯虚数，则复数z的模为（ ）
A．i
B．0
C．1
D．2

3. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

4. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．1，-1
B．1，-17
C．3，-17
D．9，-19

5. 难度：中等

下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程=3-5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归方程=bx+a必过（，）；
④在一个2×2列联表中，由计算得k²=7.079，则其两个变量间有关系的可能性是99%；
其中错误的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）
A．[-1，2]
B．[0，2]
C．[1，+∞）
D．[0，+∞）

7. 难度：中等

图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

观察下列各式：a+b=1，a²+b²=3，a³+b³=4，a⁴+b⁴=7，a⁵+b⁵=11，…，则a¹⁰+b¹⁰=（ ）
A．28
B．76
C．123
D．199

9. 难度：中等

已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集为（ ）

A．（-∞，-2）∪（1，+∞）
B．（-∞，-2）∪（1，2）
C．（-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）
D．（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）

10. 难度：中等

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则x₁•x₂•…•x_n的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1

二、填空题

11. 难度：中等

函数的定义域是    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（其中t为参数），以ox为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=cosθ，则圆心C到直线l的距离为    ．

13. 难度：中等

已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+2）=-f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x²，f（5）=    ．

14. 难度：中等

点P（x，y）是曲线y=（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x，y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点，有下列三个命题：
①PA=PB；
②△OAB的面积是定值；
③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．
其中真命题的个数是    （填写命题的代号）

三、解答题

15. 难度：中等

某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：

x	2	3	4	5
y	18	27	32	35

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x．的线性回归方程=x+；
（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．

16. 难度：中等

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°
（I）试从上述三个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．

17. 难度：中等

（1）若m，n∈R，由m²+n²≥2mn可得2（m²+n²）≥m²+n²+2mn，即有2（m²+n²）≥（m+n）²；
（2）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，利用（1）中不等式，求+的最大值并求出对应的x，y的值．

18. 难度：中等

在椭圆+y²=1上求一点M，使点M到直线（t为参数）的距离最小，并求出该最小距离．

19. 难度：中等

设关于x的函数f（x）=-cos²x-2msinx+m²+2m的最小值是m的函数，记为g（m）．
（1）求g（m）的解析表达式；
（2）当g（m）=5时，求m的值；
（3）如果方程f（x）=0在x∈（0，π）有两不相等的解，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-a（x-1），（a＞0）
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当n∈N⁺时，证明：（1+）（1++）（1+）…（1+）＜e．其中（e≈2.718…即自然对数的底数）