2012-2013学年浙江省杭州高级中学高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设命题甲：||MF₁|-|MF₂||是定值，命题乙：点M的轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线，则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

曲线f（x）=x³+x-2在p处的切线平行于直线y=4x-1，则p的坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（2，8）
C．（1，0）或（-1，-4）
D．（2，8）或（-1，-4）

3. 难度：中等

设直线l的方程为x-y+1=0，则l关于直线x=2对称的直线l′的方程为（ ）
A．x+y-5=0
B．2x+y-7=0
C．2y-x-4=0
D．2x-y-1=0

4. 难度：中等

已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A．8π
B．7π
C．2π
D．

5. 难度：中等

设F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F₁AF₂=90°，且|AF₁|=3|AF₂|，则双曲线离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图所示，在立体图形D-ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

7. 难度：中等

设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）
A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β
B．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c
C．b⊂β，若b⊥α，则β⊥α
D．a，b⊂α，a∩b=P，c⊥a，c⊥b，若α⊥β，则c⊂β

8. 难度：中等

若直线l被圆C：x²+y²=2所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是（ ）
A．（x-1）²+y²=1
B．+y²=1
C．y=x²
D．x²-y²=1

9. 难度：中等

在二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥l，BD⊥l，若AB=1，AC=BD=2，CD=，则二面角α-l-β的余弦值为（ ）

A．
B．-
C．
D．-

10. 难度：中等

设f（x）=x³+ax²+bx+c，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根，当0＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，则下列命题中错误的是（ ）
A．f（x）-4=0和f′（x）=0有且只有一个相同的实根
B．f（x）=0和f′（x）=0有且只有一个相同的实根
C．f（x）+3=0的实根大于f（x）-1=0的任一实根
D．f（x）+5=0的实根小于f（x）-2=0的任一实根

二、填空题

11. 难度：中等

已知f（x）=x²+2xf′（1），则f′（1）    ．

12. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为CD、DD₁的中点，则异面直线EF与A₁C₁所成角的余弦值为    ．

13. 难度：中等

圆心在直线y=-4x上，并且与直线l：x+y-1=0相切于点P（3，-2）的圆的方程为    ．

14. 难度：中等

如图，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF₂是面积为的正三角形，则b²的值是    ．

15. 难度：中等

已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂，若点A，B关于原点对称，则k₁•k₂的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知点P（0，5）及圆C：x²+y²+4x-12y+24=0．
（1）若直线l过P且与⊙O的圆心相距为2，求l的方程；
（2）求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程．

17. 难度：中等

已知函数，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若当x∈[1，3]时，恒成立，求a的取值范围．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．

19. 难度：中等

已知抛物线C：x²=2py（p＞0），F为焦点，设抛物线C上一点到焦点的距离为1，l为准线，l与y轴的交点为H．
（I）求抛物线C方程；
（Ⅱ）设M是抛物线C上一点，E（0，4），延长ME，MF分别交抛物线C于点A，B两点．若A，B，H三点共线，求点M的坐标．