2009-2010学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={x|x²-7x+10=0}，B={2，3，6}，则集合（∁_UA）∩B=（ ）
A．{1，3，4，6}
B．{3，6}
C．{2}
D．{2，3，5，6}

2. 难度：中等

若复数z=（i是虚数单位），则|z|=（ ）
A．
B．
C．1
D．

3. 难度：中等

已知直线l₁：2x-my+1=0与l₂：x+（m-1）y-1=0，则“m=2”是“l₁⊥l₂”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

下列函数中，周期为π的偶函数是（ ）
A．y=cos
B．y=sin2
C．y=tan
D．y=sin（2x+）

5. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-3n（n∈N*），则a₄=（ ）
A．11
B．15
C．17
D．20

6. 难度：中等

如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是（ ）
A．96cm³
B．80cm³
C．（80+16）cm³
D．cm³

7. 难度：中等

已知点（m，n）在直线5x+2y-20=0上，其中m，n＞0，则lgm+lgn（ ）
A．有最大值为2
B．有最小值为2
C．有最大值为1
D．有最小值为1

8. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-3，+∞），且f（6）=f（-3）=2．f′（x）为f（x）的导函数，函数f′（x）的图象如图所示．则平面区域所围成的面积是（ ）

A．10
B．4
C．9
D．18

二、填空题

9. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）过点（2，4），则a=    ．

10. 难度：中等

为了测算如图阴影部分的面积，做一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则∠A=    ，△ABC的面积是    ．

12. 难度：中等

已知命题P：∃x∈R，x²+2ax+a≤0．写出﹁p：    ；若命题P是假命题，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

如果执行右面的程序框图，那么输出的k是    ．

14. 难度：中等

在某个QQ群中有n名同学在玩一种叫“数字哈哈镜”的游戏．这些同学编号依次为1，2，3，…．，n..在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p，q）表示．规则如下：编号为k的同学看到的像为（a_k，a_k+1），且满足a_k+1-a_k=k（k∈N*），已知编号为1的同学看到的像为（5，6），则编号为4的同学看到的像为    ；某位同学看到的像为（195，q），其中q的值被遮住了，请你帮这位同学猜出q=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E、F分别为A₁B₁、A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证：DF∥平面ACE．

16. 难度：中等

已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，sinx-2cosx），0．
（Ⅰ）若∥，求x；
（Ⅱ）设f（x）=，
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）函数f（x）经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？

17. 难度：中等

某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m-n|＞10”概率．

18. 难度：中等

如图所示，已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l₁：x+2y+7=0相切．过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l₁相交于点P．
（1）求圆A的方程；
（2）当时，求直线l的方程．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²-（a-3）x+b，
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值-，求实数a，b的值；
（2）若a=1，且函数f（x）在[-1，2]上恰有两个零点，求实数b的取值范围．

20. 难度：中等

对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q，使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“M类数列”．
（I）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p&，q，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．
（1）求数列{a_n}前2009项的和；
（2）是否存在实数t，使得数列{a_n}是“M类数列”，如果存在，求出t；如果不存在，说明理由．