2012-2013学年浙江省台州市高二（下）4月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

一个物体的运动方程为s=1-t+t²其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A．7米/秒
B．6米/秒
C．5米/秒
D．8米/秒

2. 难度：中等

用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a²＞0”，你认为这个推理（ ）
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．是正确的

3. 难度：中等

已知函数f（x）=x•cos2x，则f（x）的导函数f′（x）=（ ）
A．cos2x-2xsin2
B．cos2x-xsin2
C．cos2x+2xsin2
D．cos2x+xsin2

4. 难度：中等

可导函数y=f（x）在一点的导数值为0是函数y=f（x）在这点取极值的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．必要非充分条件
D．充要条件

5. 难度：中等

观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n（n∈N*）个等式应为（ ）
A．9（n+1）+n=10n+9
B．9（n-1）+n=10n-9
C．9n+（n-1）=10n-1
D．9（n-1）+（n-1）=10n-10

6. 难度：中等

某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N^*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ）
A．当n=6时，该命题不成立
B．当n=6时，该命题成立
C．当n=4时，该命题不成立
D．当n=4时，该命题成立

7. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度

8. 难度：中等

若f（x）=e^x，则=（ ）
A．e
B．-e
C．2e
D．-2e

9. 难度：中等

已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x²+2x•f′（2），则f（-1）与f（1）的大小关系为（ ）
A．f（-1）=f（1）
B．f（-1）＞f（1）
C．f（-1）＜f（1）
D．不确定

10. 难度：中等

设函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知P，Q为抛物线x²=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（ ）
A．1
B．3
C．-4
D．-8

12. 难度：中等

点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如右图所示，那么点P所走的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x²，下面的不等式在R内恒成立的是（ ）
A．f（x）＞0
B．f（x）＜0
C．f（x）＞
D．f（x）＜

14. 难度：中等

如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

15. 难度：中等

若f（x）=x³，f′（x）=3，则x的值为     ．

16. 难度：中等

曲线y=x³-x+3在点（1，3）处的切线方程为    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2e^x-mx（其中e≈2.718…）在区间[-1，0]上单调递减，则实数m的取值范围为    ．

18. 难度：中等

直线y=a与函数f（x）=x³-3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是    ．

19. 难度：中等

用数学归纳法证明不等式1+++…+＞（n∈N^*）成立，其初始值至少应取    ．

20. 难度：中等

类比余弦定理，在△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²-2DF•EF∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁BC的3个侧面面积之间的关系式（其中θ为侧面为ABB₁A₁与BCC₁B₁所成的二面角的平面角）    ．

三、解答题

21. 难度：中等

已知函数y=ax³+bx²，当x=1时，有极大值3．
（1）求a，b的值；
（2）求函数y的极小值．

22. 难度：中等

已知数列，，…，，…，S_n为该数列的前n项和，
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄，
（2）根据计算结果，猜想S_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．

23. 难度：中等

用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

24. 难度：中等

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°-sin²（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°-sin²（-25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

25. 难度：中等

已知函数．
（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．