2012-2013学年湖北省荆门市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“∃x∈R，使得|x|＜1”的否定是（ ）
A．∀x∈R，都有|x|＜1
B．∀x∈R，都有x≤-1或x≥1
C．∃x∈R，都有|x|≥1
D．∃x∈R，都有|x|＞1

2. 难度：中等

设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是（ ）
A．y²=-8
B．y²=-4
C．y²=8
D．y²=4

3. 难度：中等

设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1）．已知Φ（-1.96）=0.025，则P（|ξ|＜1.96）=（ ）
A．0.025
B．0.050
C．0.950
D．0.975

4. 难度：中等

不等式成立的充分不必要条件是（ ）
A．x＞1
B．x＜-1或0＜x＜1
C．x＞-1
D．-1＜x＜0或x＞1

5. 难度：中等

某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S值为（ ）

A．-6
B．-10
C．-15
D．10

6. 难度：中等

从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

从编号为1～60的60枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用系统抽样方法抽取5枚导弹的编号可能是（ ）
A．1，3，4，7，9，5
B．10，15，25，35，45
C．5，17，29，41，53
D．3，13，23，33，43

8. 难度：中等

已知圆C：x²+y²=4，直线l：x+y=1，则圆C内任意一点到直线的距离小于的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

“中国农谷杯”2012全国航模锦标赛于10月12日在荆门开幕，文艺表演结束后，在7所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演．如果M、N为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先M后N的次序（M、N两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有（ ）
A．120种
B．240种
C．480种
D．600种

10. 难度：中等

过双曲线的左焦点F₁作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A、B，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．3x±y=0
B．x±3y=0
C．2x±3y=0
D．3x±2y=0

二、填空题

11. 难度：中等

二进制110011_（2）化成十进制数为    ．

12. 难度：中等

正二十边形的对角线的条数是    ．

13. 难度：中等

某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则中位数与众数分别为    、    ．

14. 难度：中等

已知F是抛物线y²=4x的焦点，A，B是抛物线上两点，△AFB是正三角形，则该正三角形的边长为    ．

15. 难度：中等

下列四个命题：
①命题P：；则￢P命题是；；
②（1+kx²）¹⁰（k为正整数）的展开式中，x¹⁶的系数小于90，则k的值为1；
③从总体中抽取的样本（x₁，y₁），（x₂，y₂）…，（x_n，y_n）．若记=，=，则回归直线=bx+a必过点（，）；
④过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若弦长|AB|=8，则这样的直线恰好有3条；其中正确的序号是    （把你认为正确的序号都填上）．

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：方程x²+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x²+4（m-2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，[40，50），[50，60），…[90，100]后画出如下图的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的合格率（60分及60分以上为合格）；
（3）把90分以上（包括90分）视为成绩优秀，那么从成绩是60分以上（包括60分）的学生中选一人，求此人成绩优秀的概率．

18. 难度：中等

有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…n的n个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ=2时，共有6种坐法．
（1）求n的值；
（2）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，A，B，C三个观察哨，A在B的正南，两地相距6km，C在B的北偏东60°，两地相距4km．在某一时刻，A观察哨发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1km/s；4秒后B，C两个观察哨同时发现这种信号．在以过A，B两点的直线为y轴，以线段AB的垂直平分线为x轴的平面直角坐标系中，试求出发了这种信号的地点P的坐标．

20. 难度：中等

若展开式中前三项的系数成等差数列，求：
（1）展开式中所有x的有理项；
（2）展开式中系数最大的项．

21. 难度：中等

设椭圆C：（a＞0）的两个焦点是F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），且椭圆C与圆x²+y²=c²有公共点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；
（Ⅲ）对（2）中的椭圆C，直线l：y=kx+m（k≠0）与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A（0，-1），求实数m的取值范围．