2008-2009学年湖北省咸宁市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（tanx+cotx）cosx=（ ）
A．tan
B．sin
C．csc
D．cos

2. 难度：中等

若a=2^0.5，b=log_π3，，则（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a

3. 难度：中等

设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α⊥β
B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β
D．a⊂α，b∥β，α⊥β

4. 难度：中等

设双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且它的一条准线与抛物线y²=4x的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．=1
D．

5. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，3（a₃+a₅）+2（a₇+a₁₀+a₁₃）=24，则此数列前13项的和是（ ）
A．13
B．26
C．52
D．56

6. 难度：中等

平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n（n≥3）维向量，n维向量可用（x₁，x₂，x₃，x₄，…，x_n）表示．设=（a₁，a₂，a₃，a₄，…，a_n），=（b₁，b₂，b₃，b₄，…，b_n），规定向量与夹角θ的余弦为cosθ=．已知n维向量，，当=（1，1，1，1，…，1），=（-1，-1，1，1，1，…，1）时，cosθ等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数f（x）=log₂|ax-1|的对称轴为x=2，则非零实数a的值是（ ）
A．-2
B．2
C．
D．

8. 难度：中等

如图，动点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上．过点P作垂直于平面BB₁D₁D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设P为曲线C：y=x²+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[]，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A．（-∞，]
B．[-1，0]
C．[0，1]
D．[，+∞]

10. 难度：中等

设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]满足方程log_ax+log_ay=3，这时a的取值集合为（ ）
A．{a|1＜a≤2}
B．{a|a≥2}
C．{a|2≤a≤3}
D．{2，3}

二、填空题

11. 难度：中等

若全集I=R，f（x）、g（x）均为x的二次函数，P={x|f（x）＜0}，Q={x|g（x）≥0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为    ．

12. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁₁+a₁₂=a，a₂₁+a₂₂=b（ab≠0），则a₁₀₁+a₁₀₂=    ．

13. 难度：中等

设f（x）=log₃（x+6）的反函数为f^-1（x），若〔f^-1（m）+6〕〔f^-1（n）+6〕=27，则f（m+n）=    ．

14. 难度：中等

已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于    ．

15. 难度：中等

设m为实数，若，则m的取值范围是     ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC；
（1）求角B的大小；
（2）设的最大值是5，求k的值．

17. 难度：中等

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，B={x|＜0}，其中a≠1
（1）当a=2时，求A∩B；
（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．

18. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2的正三角形，点A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁A⊥BC；
（Ⅱ）当侧棱AA₁和底面成45°角时，求二面角A₁-AC-B的大小余弦值；
（Ⅲ）若D为侧棱A₁A上一点，当为何值时，BD⊥A₁C₁．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前项和为S_n，点（a_n+2，S_n+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N，令b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1．
（1）求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

抛物线x²=8y的准线与坐标轴交于A点，过A作直线与抛物线交于M、N两点，点B在抛物线的对称轴上，P为MN中点，且（）•=0．
（1）求||的取值范围；
（2）是否存在这样的点B，使得△BMN为等腰直角三角形，且∠B=90°．若存在，求出点B；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知向量，其中，（x，y，c∈R），把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x），若函数f（x）为奇函数．
（Ⅰ） 求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ） 已知数列{a_n}的各项都是正数，S_n为数列{a_n}的前n项和，且对于任意n∈N^*，都有“{f（a_n）}的前n项和等于S_n²，”求数列{a_n}的通项式；
（Ⅲ） 若数列{b_n}满足，求数列{b_n}的最小值．