2008-2009学年湖北省黄冈市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（ ）
A．{0}
B．{0，1}
C．{1，2}
D．{0，2}

2. 难度：中等

设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（ ）
A．0
B．1
C．
D．5

3. 难度：中等

如果复数m²（1+i）+（m+i）i²为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．0或1

4. 难度：中等

若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（ ）
A．4
B．2
C．-2
D．-4

5. 难度：中等

把函数y=cosx-sinx的图象沿向量=（-m，m）（m＞0）的方向平移后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若与的夹角为60°，则直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1的位置关系是（ ）
A．相交但不过圆心
B．相交且过圆心
C．相切
D．相离

7. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：，且对任意的正整数m、n，都有a_m+n=a_m•a_n，若数列{a_n}的前n项和为S_n，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．2

8. 难度：中等

在正方体上任取三个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（-c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n²是2m²与c²的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．[，1]
B．[，1]
C．[，]
D．[，2]

二、填空题

11. 难度：中等

已知不等式组的解集是不等式2x²-9x+a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，边AB为最大边，且，则cosA•cosB的最大值是    ．

13. 难度：中等

设满足y≥|x-1|的点（x，y）的集合为A，满足y≤-|x|+2的点（x，y）的集合为B，则A∩B所表示图形的面积是    ．

14. 难度：中等

若（x+1）ⁿ=xⁿ+…+ax³+bx²+…+1，且a=3b，则n=    ．

15. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足：①是偶函数；②对任意的x₁、x₂都有．请写出这样的一个函数f（x）=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数的图象为c₁，c₁关于点A（2，1）对称的图象为c₂，c₂对应的函数为g（x）．
（1）求g（x）的函数表达式；
（2）当a＞1时，解不等式．

17. 难度：中等

设向量，，，其中α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ₁，与的夹角为θ₂，且，求的值．

18. 难度：中等

某城市从南郊某地乘坐公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分）服从正态分布N（50，10²）；第二条路线沿环城公路走，路线较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N（60，4²）．
（Ⅰ）若只有70分钟可用，问应走哪一条路线？
（Ⅱ）若只有65分钟可用，又应走哪一条路线？
（已知Φ（3.9）=1.000，Φ（2）=0.9772，Φ（2.5）=0.9938，Φ（1.5）=0.9332，Φ（1.25）=0.8944）

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-x
（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程
（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a＜b＜f（a）

20. 难度：中等

设x₁、x₂∈R，规定运算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²+（x₁-x₂）²．
（Ⅰ）若x≥0，a＞0，求动点P（x，）的轨迹c；
（Ⅱ）设P（x，y）是平面内任意一点，定义：d₁（p）=，d₂（p）=，问在（Ⅰ）中的轨迹c上是否存在两点A₁、A₂，使之满足d₁（A_i）=）（i=1、2），若存在，求出a的范围．

21. 难度：中等

设S_n是正项数列{a_n的前n项和，且．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等比数列{b_n}，使 a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2 对一切正整数n都成立？并证明你的结论．
（3）设，且数列{C_n}的前n项和为T_n，试比较与的大小．